建筑力学电子教案_拉伸和压缩.ppt

第七章 拉伸和压缩,7-1 轴力和轴力图,当直杆受一对大小相等，方向相反，作用线与轴线重合的外力作用时，该杆的主要变形是轴向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩，这类杆件称为拉压杆，这对力称为轴向拉压力。,拉压杆模拟的是工程中的二力杆，即桁架中的构元，各杆是理想铰接。而实际拉压杆端部可能有多种连结形式，故端部附近受力和变形复杂，而拉伸压缩计算，并不考虑作用载荷的具体方式，而只注意作用在杆端部表面上分布力的合力。,1. 外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力（包括约束力）,又称为外载，荷载，载荷。 外力分为： 体积力：作用在物体整个体积上，是非接触力。 表面力：作用在物体表面上，是接触力。常见的是：分布力，集中力，约束力（限制物体运动的力）等。,内力,内力的三个概念： （1）附加内力：只研究由外力作用而引起的那部分内力。 （2）连续分布：在研究物体内处处存在，无间断，即是分布内力。 （3）截面上分布内力的合力：我们指的内力是指分布内力的合力。,2. 内力：物体内部各部分原子之间的相互作用力。,3. 暴露内力的方法：截面法（思想实验） 三步骤：截开、代替、平衡,（1）截开:,（2）代替；,（3）平衡:,(c),拉压杆横截面上的内力，由截面一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的力，此力称为轴力。用符号fn表示。,习惯上，把对应于伸长变形的轴力规定为正值（即分离体上的轴力其指向离开截面），对应于压缩变形的轴力为负值（轴力的指向对着截面）。,可以直接由所求截面任意一边杆上的外力来求得轴力:横截面上的轴力在数值上等于此截面一边杆上外力的代数和； 规定外力的正负:指离该截面外力为正，指向该截面外力为负；,获得的轴力正值为拉力，由该截面向外，负值为压力，由该截面向内。 注意：在使用截面法之前不允许使用力的可移性原理，因为将外力移动后就改变了杆件的变形性质，内力也随之改变。,4. 轴力图：表示横截面上轴向内力与截面位置关系的图线。 当杆件轴向受力较复杂时，则常要作轴力图，将轴力随横截面位置变化的情况表示出来(截面法) 。 用途：外力多于2个时，找出轴力最大截面。 方法： 用平行于杆轴线的坐标表示横截面位置。 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力数值，拉伸为正值轴力在上，压缩为负值轴力在下。,解：要作abcd杆的轴力图，则需分别将ab、bc、cd杆的轴力求出来。分别作截面1-1、2-2、3-3，如左图所示。,例7-1 作轴力图。,1-1截面处将杆截开并取右段为分离体。则,fn1 = -20 kn,负号表示轴力为压力。,于2-2截面处将杆截开并取右段为分离体。则,fn2 = + 20 20= 0,于3-3截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则,fn3 =+ 30 + 20 - 20,fn3 = 30 kn,轴力为拉力。,作轴力图，以沿杆件轴线的x坐标表示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示横截面上的轴力fn。,当然此题也可以先求a处的支座反力，再从左边开始将杆截开，并取左段为分离体进行分析。,试作图示杆的轴力图。 轴力与杆的横截面大小有没有关系?,思考题7-1,思考题7-1参考答案：,考虑图示杆的自重,作其轴力图。已知杆的横截面面积为a，材料容重为g，杆的自重为p。,思考题7-2,思考题7-2参考答案：,fn(x)= f+ag x,7-2 横截面上的应力,“千钧一发”表示非常危险，而“千均万发”就不那么危险。如果“一发”和“万发”都表示杆、则它们受的外载“千钧”是相同的，故内力也相同。可见，仅有内力不能表示杆受力的危险性，讨论危险性还要考虑杆的横截面积。,要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏（危险性），必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化规律找出分布内力在各点处的集度应力。杆件横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号s 表示。,定义：法向分布内力的集度 mm截面 c点处的正应力s 为：,（2-1）,是矢量，因而正应力s 也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。正应力的量纲为 。在国际单位制中，应力的单位为帕斯卡(pascal)，其中文代号是帕，国际代号是pa 。,求解应力在截面上的变化规律，要根据杆件在受力变形前后表面上的变形情况为根据，由表及里地作出内部变形情况的几何假设。,受力前,图7-2,受力后,在实验中看到，杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但每一条周线仍位于一个平面内，并仍与杆的轴线垂直。,受力前,图7-2,受力后,拉压平面假设：原为平面的横截面a和b，在杆轴向拉伸变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。,这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也相等。,受力后,因为材料是均匀连续的，于是根据拉杆的变形情况，可以推断：横截面上各点处的内力处处相等。从而有,（2-2）,式中，fn 为轴力，a 为横截面面积。,对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵抗弯曲的刚度，上式同样适用。,对应于伸长变形的拉应力为正，对应于缩短变形的压应力为负。 在外力作用点附近的应力情况比较复杂,注意公式（2-2）只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确。 离开平面假设，材料力学就无能为力。,力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。,圣维南原理,当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式（2-2），即得杆内的最大应力为：,（2-3）,此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工作应力。,例7-3 一横截面面积 的等直杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。,解：此杆的最大轴力为：,最大工作应力为：,例7-4 一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知f=50n,试求荷载引起的最大工作应力。,解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。,最大工作应力为：,思考题7-3 在图示机构中，各杆的横截面面积为3000 。力f为100 kn。求各杆横截面上的正应力。,参考答案：,思考题7-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成；拉杆和竖向撑杆均用两根758 mm的等边角钢构成，已知屋面承受沿水平线的线集度为q=20 kn/m的竖直均布荷载。求拉杆ae和eg横截面上的应力。,参考答案：,试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力在横截面上却不一定处处相等。,根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截面上的正应力均匀分布，则其合力必过横截面的形心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力非均匀分布时，它们仍可组成轴力。,思考题7-5,7-3 斜截面上的应力,实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿横截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了研究其破坏原因，讨论斜截面上的应力。,任何内力都可以根据它与切开面的关系分成平行于切开面和垂直于切开面的两部分。单位面积上平行于截面的内力称为切应力，单位面积上垂直于截面的内力，称为正应力。,问题：总应力,仿照前面求正应力的分析过程，同样可知斜截面上的应力处处相等。,(a为横截面的面积),(为横截面上的正应力),应力状态：通过一点的所有截面上应力的全部情况。,单向应力状态：一点处所有截面上的应力由其横截面上的正应力即可完全确定的应力状态。,以上的分析结果对压杆也同样适用。,以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截面上的正应力和切应力随a 角而改变的规律。,结论 在杆的横截面上只有正应力，在所有的斜截面上既有正应力又有切应力，在杆的纵截面上没有应力。 拉（压）杆最大正应力发生在横截面上，其大小为。 拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成45 的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。,拉（压）杆任意两个互相垂直的截面 k-k 和 n-n 上的切应力为：,切应力互等定理:任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两个垂直截面的交线。,1.拉压变形 拉杆变形的现象是：纵向伸长，横向略缩小。 压杆变形的现象是：纵向缩短，横向略增大。,7-4 拉（压）杆的变形与位移,设拉杆原长为l，受一对力f 拉伸后长度变为 ，则杆的纵向伸长为：,它只反映杆的总变形量，无法反映杆变形的程度，由于杆的各段是均匀伸长的，所以反映杆变形程度的量是单位长度杆的伸长，称为线应变 ，即,其单位是 ，故 是一个没有单位的量，规定伸长为正，缩短为负。,2. 胡克定律,对弹性材料，应力 与应变 并不是相互独立的，在一维应力状态它们之间存在正比例关系。即 引入比例系数e，则：,此规律是英国力学家 r. hook 在 1678 年通过实验首先发现的，因此称为胡克定律。其中的比例系数 e 是英国t.young 于1807年首先采用的，因此称为杨氏模量，其量纲与 的量纲一致，即为 pa 。 代入 则有,上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中e为弹性模量，其量纲为 ，常用单位为mpa。,3. 横向变形系数泊松比,横向线应变为：,实验证实：,泊松比 是一个与材料有关的无量纲的量，由s. d. poisson提出，其数值通过实验测定。,若在受力物体内一点处已测得两个相互垂直的x和y方向均有线应变，则是否在 x和y方向必定均作用有正应力？若测得仅x方向有线应变，则是否y方向无正应力？若测得x和y方向均无线应变，则是否x和y方向必定均无正应力？,思考题7-6：,解：首先作轴力图。若认为基础无沉陷，则砖柱顶面下降的位移等于全柱的缩短。,例7-5 一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知f=50n,材料的弹性模量 。试求砖柱顶面的位移。,由于此柱为变截面杆，且上下两段轴力不等，因此要分段计算。,由此得,图示两根等截面杆，（1）它们的总变形是否相同？ （2）它们的变形程度是否相同？（3）两杆哪些相应截面的 纵向位移相同？,思考题7-7,思考题7-8 一木柱受力如图所示，柱的横截面为边长200 mm的正方形，材料可认为遵循胡克定律，其弹性模量e= mpa。如不计柱的自重，试： （1）作轴力图； （2）求柱的各横截面上的正应力，并绘 出该项正应力随横截面位置的变化图； （3）求柱的各横截面处的纵向线应变， 并作该线应变随横截面位置的变化图； （4）求柱的总变形； （5）绘出各横截面的纵向位移随截面位 置的变化图。,参考答案：,例7-6 图(a)是一等直杆在自重和力f 作用下的示意图。已知杆的横截面面积为a，材料容重为g，弹性模量为e,杆长为l。试求杆的总伸长。,解：要求杆的总伸长，首先作出轴力图。,作轴力图如下：,(p为杆的总重量),自重引起的伸长怎样考虑？,图示杆任意横截面m-m的纵向位移是否可由下式计算：,为什么式中积分的下限为l ,而不取为零？为什么积分号前取正号？,思考题7-9,例7-8 图示杆系由钢杆1、2组成。各杆的长度均为l =2m,直径均为d =25mm。已知变形前 钢的弹性模量 ，荷载 ，试求节点a的位移 。,解：由于结构和受力都对称，结点a只有竖直位移。对a点进行受力分析,问题：位移与变形的区别？,思考题7-10 求图示杆系结点b的位移，已知两杆的横截面面积a=100 mm2，且均为钢杆sp=200 mpa，ss=240 mpa，e=2.0105pa。,参考答案：不计斜杆受力，但水平位移要计。,思考题7-11 某吊架结构的计算简图如图所示。ca是钢杆，横截面面积a1= 200 mm2，弹性模量e1=2.1105mpa；bd是铜杆，横截面面积a2= 800 mm2，弹性模量e2= 2.1105mpa。设水平梁ab的刚度很大，其变形可忽略不计。 （1）现欲使吊杆变形之后，梁ab仍保持水平，求荷载f离bd 杆的距离x。 （2）在上述条件下若水平梁的竖向位移不得超过2 mm，则f 力最大等于多少？,参考答案：,弹性体在外力作用下产生变形时，其内部储存有能量，例如拉弓，上紧发条。当外力除去变形消失时，蓄有的能量逐渐释放，从而做功。 应变能弹性体内伴随着弹性变形的增减而改变的能量，用u 表示。它在数值上等于外力所做的功w。（力乘以在力的作用方向上移动的距离），单位是j（焦耳nm）。 采用能量为基点的解题方法有时能简化计算过程，因此应该对能量有所了解。,7-5 拉（压）杆的应变能,如果荷载缓慢地增大，而可以不计动能，并忽略热能等，根据能量守恒原理，荷载作的功在数值上等于拉杆内的应变能。,对于图示杆，其应变能为：,应变能的单位与功相同，为焦（j)：,上面的公式适用于线弹性范围。,比能：拉（压）杆单位体积内所积蓄的应变能，用 u 表示。,比能的常用单位是：,例7-9 杆系如图所示， （1）求该系统内的应变能u, （2）求节点a的位移 。,解：（1）由例2-6的结果知,系统的应变能为：,（2）由,得,例7-10 如图所示，重量为p的重物从高处自由落下，在与杆ab下端的盘b碰撞后不发生回跳。已知自由落距为h，杆的长度为l, 盘及杆重均可不计。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。,解：碰撞结束后，杆的伸长达到最大值即冲击位移 ，相对于这个最大位移的假想静荷载称为冲击荷载，以pd表示，则杆中应变能增加值等于重物势能的减少值，即 设 称为动荷系数 则有 是杆相对于静载 p 的伸长，从而有,的表达式也适用其他变形形式，只是 的计算公式与拉压不同。,解得 上式中“”号无物理意义，应舍去。 则 从而,（1）若图中重物不是从高处自由下落而是骤然加在杆ab下端的盘 b上，则冲击系数为多少？ (2)推导公式 时略去了 碰撞过程中能量的损失，那么由此算得 的 kd 是偏大还是偏小？,思考题7-12 ：,参考答案：（1）,（2） 偏大,7-6 材料受拉伸和压缩时的力学性能,1. 材料的拉伸和压缩试验,拉伸试样,圆截面试样：l = 10d 或 l = 5d(工作段长度称为标距)。,矩形截面试样： 或 。,压缩试样,圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能),正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能),试验设备：,1、万能试验机：用来强迫试样变形并测定试样的抗力,2、变形仪：用来将试样的微小变形放大到试验所需精度范围内,拉伸图,四个阶段：,弹性阶段,屈服阶段,强化阶段,局部变形阶段,为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力应变曲线图。,图中：,a 原始横截面面积 名义应力,l 原始标距 名义应变,拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点：,、弹性阶段ob,此阶段试件变形完全是弹性的，且与成线性关系,e 线段oa的斜率,比例极限p 对应点a,弹性极限e 对应点b,、屈服阶段,此阶段应变显著增加，但应力基本不变屈服现象。,产生的变形主要是塑性的。,抛光的试件表面上可见大约与轴线成45 的滑移线。,屈服极限 对应点d （屈服低限）,、强化阶段,此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。,强度极限b 对应点g (拉伸强度)，最大名义应力,此阶段如要增加应变，必须增大应力,材料的强化,强化阶段的卸载及再加载规律,若在强化阶段卸载，则卸载过程 s-e 关系为直线。,立即再加载时，s-e关系起初基本上沿卸载直线(cb)上升直至当初卸载的荷载，然后沿卸载前的曲线断裂冷作硬化现象。,ee_ 弹性应变,ep 残余应变（塑性）,、局部变形阶段,试件上出现急剧局部横截面收缩颈缩，直至试件断裂。,伸长率,断面收缩率：,a1 断口处最小横截面面积。,（平均塑性伸长率）,q235钢的主要强度指标：,q235钢的塑性指标：,q235钢的弹性指标：,通常 的材料称为塑性材料；,的材料称为脆性材料。,低碳钢拉伸破坏断面,低碳钢拉伸破坏断口,低碳钢拉伸试件,注意：,1. 低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。,2. 低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。,3. 超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得， 因而是名义应变(工程应变)。,4. 伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积(或直径)之比，原因在此。,思考： 低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标 距（l = 10d 和 l = 5d，试问所得伸长率d10和d5 哪一个大？,、其他金属材料在拉伸时的力学性能,锰钢没有屈服和局部变形阶段,强铝、退火球墨铸铁没有明显屈服阶段,共同点：,d 5%，属塑性材料,无屈服阶段的塑性材料，以sp0.2作为其名义屈服极限，称为规定非比例伸长应力或屈服强度。,sp0.2,对应于ep=0.2%时的应力值,灰口铸铁在拉伸时的s e 曲线,特点： 1、 s e 曲线从很低应力水平开始就是曲线；采用割线弹性模量 2、没有屈服、强化、局部变形阶段，只有唯一拉伸强度指标sb 3、伸长率非常小，拉伸强度sb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。,典型的脆性材料,铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面：,脆性材料拉伸时的唯一强度指标：,强度极限sb(拉伸强度)基本上就是试样拉断时横截 面上的真实应力。,低碳钢压缩时s e 的曲线,特点： 1、低碳钢拉、压时的ss以及弹性模量e基本相同。 2、材料延展性很好，不会被压坏。,铸铁压缩时的sb和均比拉伸时大得多；,不论拉伸和压缩，在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。,灰口铸铁压缩时的se曲线,试样沿着与横截面大致成5055的斜截面发生错动而破坏。,、几种非金属材料的力学性能,1、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考虑;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。,1、直线段很短，在变形不大时突然断裂； 2、压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关； 3、以s e 曲线上s =0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。,2、木材,木材属各向异性材料,其力学性能具有方向性,亦可认为是正交各向异性材料,其力学性能具有三个相互垂直的对称轴,1、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺陷的影响波动； 2、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度，但受木节等缺陷的影响小。 3、横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标。 4、横纹拉伸强度很低，工程中应避免木材横纹受拉。,松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s e 曲线,许用应力 s 和弹性模量 e 均随应力方向与木纹方向倾角不同而取不同数值。,3、玻璃钢,玻璃纤维的不同排列方式,玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料,力学性能,玻璃纤维和树脂的性能,玻璃纤维和树脂的相对量,材料结合的方式,纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s e曲线,特点： 1、直至断裂前s e 基本是线弹性的； 2、由于纤维的方向性，玻璃钢的力学性能是各向异性的。,工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大现象，即产生所谓“应力集中”。应力集中处的局部最大应力与按等截面杆算得的应力之比称为应力集中系数 ：,7-7 应力集中,在杆件的设计中应尽量避免截面尺寸急剧变化，以减缓应力集中的影响。,7-8 拉压杆的强度计算,为使杆件在外力作用下不致发生强度破坏，杆件内最大工作应力 不能超过杆件材料所能承受的极限应力 ，而且要有一定的安全储备。这一强度条件可用下式来表达,上式中，n 是大于 1 的系数，称为安全系数，其数值通常是由设计规范规定。 引入n是因为:1) 是从模型算出，与实际情况有偏差；2） 是从个别试样测出，而材料本身性能有分散性；3）恐有偶然超载或工作环境恶化的情况。,应力除以安全系数得到材料能安全工作的容许应力 。于是强度条件又可写作,在强度条件中，式左是结构中的最大应力，它与结构的几何形状和外载有关，而与材料无关。而式右值是材料的特性，与结构和受力无关。 通过受力分析和计算，得到拉压杆危险截面上的应力 。 通过材料拉伸试验，得到拉压杆材料的 。 应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：,校核强度已知杆件的横截面面积a、材料的容许应力 以及杆件所承受的荷载，检验上式是否满足，从而判定杆件是否具有足够的强度： 2. 选择截面尺寸已知荷载及容许应力，根据强度 条件选择截面尺寸。,3. 确定许可荷载已知杆件的横截面积a、材料的容许 应力 以及杆件所承受的荷载的情况，根据强度条件确定荷载的最大容许值。,例 7-11 图示三铰屋架中，均布荷载的集度 q =4.2kn/m，钢拉杆直径 d =16mm，许用应力 s = 170mpa 。试校核拉杆的强度。,解：,1、求支反力,考虑结构的整体平衡并利用其对称性,取分离体如图并考虑其平衡,2、求钢拉杆的轴力。,3、求钢拉杆的应力并校核强度。,故钢拉杆的强度是满足要求的。,例7-12 一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情况、各段长度如图(a)所示。bc段和cd段的横截面面积是ab段横截面面积的两倍。矩形截面的高度与宽度之比 h/b=1.4，材料的容许应力 。试选择各段杆的横截面尺寸h和b。,解：首先作杆的轴力图如图(b)所示。,对于ab段，要求：,对于cd段，要求,由题意知cd段的面积是ab 段的两倍，应取,可得ab段横截面的尺寸b1及h1：,由,由,可得cd段横截面的尺寸b2及h2：,例7-13 图示三角架中，杆ab由两根10号工字钢组成，杆ac由两根 80mm 80mm7mm 的等边角钢组成。两杆的材料均为q235钢，s =170mpa 。试求此结构的许可荷载 f 。,（1）节点 a 的受力如图，其平衡方程为：,解：,得,a,（2）查型钢表得两杆的面积,（3）由强度条件得两杆的许可轴力：,杆ac,杆ab,杆ac,杆ab,(4) 按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载：,思考题7-13 结构如图所示，杆件ab，ad均由两根等边角钢组成。已知材料的容许应力s=170 mpa，试为ab，ad杆选择等边角钢的型号。,参考答案：,1 超静定的基本概念,（1）静定结构与超静定结构,静定结构由静力平衡方程可求出全部未知力。,7-9 简单的拉、压超静定问题,超静定结构仅由静力平衡方程不能求出全部未知力。,超静定的次数未知量数目与独立平衡方程数目之差。 超静定问题存在的关键是存在着多于维持平衡所必需的支座或杆件，即多余约束，从而使问题中未知力的数目多于能够建立的独立平衡方程的数目。因此，求解的方法就是寻找足够数量的补充方程与静力平衡方程联立求解。,（2） 多余约束