线性代数考题集锦.doc

试 卷 一一（33%）填空题（表示单位矩阵）：1 设，则 ； ；2 设矩阵，则行列式 ；3 若向量组，则当参数 时，线性相关；4 矩阵的伴随矩阵= ；5 设矩阵及均可逆，则 ；6 分块矩阵的逆矩阵为 ；7 设矩阵。若齐次线性方程组的解空间是2维的，则齐次线性方程组的解空间是 维的；8 与向量，均正交的一个单位向量为 ；9 已知矩阵，则当数满足条件 时，是正定的；10 若实对称矩阵有两个不同的特征值, 且则当参数满足条件 时，矩阵是正定的。二（12%）求矩阵方程的解，其中，三（12%）设3阶方阵有特征值，是其相应于特征值 的特征向量，是其相应于特征值的特征向量。1. 求。2. 若3阶实对称矩阵的特征值也是，证明：与必定相似。四（12%）设线性方程组1 问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？2 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。五（12%）矩阵。1. 求一2. 问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？六（12%）设实对称矩阵1. 求参数；2. 求一正交矩阵七（7%）证明题：1 设 是矩阵的两个互异的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，是的属于的特征向量。证明：线性无关。2 已知阶方阵相似于对角阵，并且，矩阵的特征向量均是矩阵的特征向量（注：，的特征值未必相同）。证明试 卷 二一 （24%）填空题：1 假设矩阵，则。2 假设向量组A：，则当参数满足条件 时，向量组A的秩为1； 时A的秩为2； 时A的秩为3。3 若向量是矩阵的特征向量，则。4 设矩阵，且，则参数满足条件 。5 若矩阵与对角阵相似，则满足条件 。6 若是正交矩阵，则满足条件 。7 若对满足条件的实对称矩阵， 都是正定矩阵，则实数必定满足条件 。二 （8%）求矩阵的行列式的值。三 （15%）已知矩阵，向量。1 若是线性方程组的解，试求的值，并求这时的通解；2 若有无穷多组解，但不是的解，求的值。四 （15%）解矩阵方程 。其中，。五 （15%）设二次型1 写出二次型的矩阵；2 求正交变换将化成标准形，并写出相应的标准形。六 （12%）设3阶矩阵的特征值是（二重）和，且，是的相应于特征值2的特征向量，是的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵及。七 （5%）已知矩阵，。问：当参数满足什么条件时，矩阵方程有解，但无解？八 （6%）证明题：1 已知向量组可以由线性表示。若向量组的秩为2，证明：线性无关。2 设2阶方阵，且，。若不全为零，证明：不与任何对角阵相似。试 卷 三一 （27%）填空题1 若矩阵,，且，则的值分别为；2 设对任意列向量，则矩阵 ；3 设阶方阵， 。若的行列式 ，则矩阵的行列式 ；4 设为阶可逆方阵，阶矩阵的逆矩阵为 ；5 齐次线性方程组的一个基础解系为 ；6 若二次型是正定的，则参数的取值范围是 ；7 若是正交矩阵, 则参数的值分别为 ；8 假设阶矩阵的特征值为。则行列式的值为 ；9 若实二次型的矩阵分别为，则的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数满足 。二（14%）假设阶矩阵满足。1 证明矩阵及均可逆，并分别求及；2 证明：若，矩阵肯定不可逆。三（14%）假设矩阵，。已知线性方程组有无穷多组解。试求参数的值，并求方程组的通解（要求用的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。四（15%）已知矩阵相似于对角阵。1 求参数的值，并求的特征值及相应的特征向量；2 求一可逆矩阵，使得为对角阵，并写出相应的对角阵；3 问：是否存在正交矩阵，使得为对角阵？试说明你的理由。五（12%）已知矩阵，矩阵，求矩阵，使得。六（12%）假设3维向量；。已知向量组与向量组等价。1 求的秩及其一个最大线性无关组，并求参数的值；2 令矩阵，求满足的矩阵。七（6%）假设阶矩阵满足。1 证明：关于矩阵的秩有等式，并且相似于对角阵；2 若，试求行列式的值。试 卷 四一 （30%）填空题1. 设, 则 ；2. 若矩阵满足，则的逆矩阵 ；3. 若向量组的秩为2，则参数满足条件 ；4. 假设3阶矩阵的特征值为，矩阵，其中，是的伴随矩阵，则的行列式 ；5. 相似于对角阵的充要条件是满足条件 ；6. 若与相似，则 ； 7. 设是3阶实对称矩阵的相应于某个非零二重特征值的特征向量。若不可逆，则的另一个特征值为 ，相应的一个特征向量为 ；8. 3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2, 已知是它的3个解向量,其中,则该方程组的通解是 ；9. 若4阶矩阵的秩都等于1，则矩阵的行列式 。二 （10%）计算下述行列式的值。三 （15%）设线性方程组 。问：当参数取何值时, 线性方程组有唯一解？当参数取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解（用向量形式表示）。四 （12%）假设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求。五 （10%）已知向量组线性无关，问：参数满足什么条件时，向量组线性相关？六 （15%）已知二次型，1. 写出二次型的矩阵； 2. 求一正交变换，将变成其标准形； 3. 求当时的最大值。七 （8%）证明题：1. 设向量组中，线性相关，线性无关，证明：能由线性表示。2. 设是阶正定矩阵,证明：矩阵也是正定矩阵。试 卷 五一(30%)填空题1. 设3阶矩阵，。若的行列式，则的行列式 ；2. 与向量及都正交的单位向量为 ；3. 矩阵的伴随矩阵 ；4. 假设，则= ；= ；5. 若为方阵，则方阵的逆矩阵 ；6. 已知矩阵，若不可逆，则参数满足条件 ，这时，的秩为 ； 7. 假设阶方阵满足，则是可逆的，且 ；8. 假设矩阵相似于对角阵，并且2是的一个二重特征值，则参数的值分别等于 。二（12%）已知矩阵。1. 求的行列式的值；2. 根据的不同的值，求的秩及列向量组的极大线性无关组。三（12%）假设，。求矩阵方程的解。四（14%）假设矩阵，。1. 问：当参数取什么值时，线性方程组有唯一解、有无穷多组解、无解？2. 当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。五（14%）已知三阶方阵与矩阵相似，求参数的值，并求一可逆矩阵，使得。六（12%）设二次型1. 求一可逆线性变换将变成其标准形；2. 根据参数的不同取值，讨论的秩及正、负惯性指数；3. 问：当参数取什么值时，是正定二次型？七（6%）假设是阶正交阵。若是实对称矩阵，证明：的特征值只能是1和，并且，若，则肯定是的特征值。试 卷 六一、 填空题1. 设3阶方阵A满足AT = -A (其中AT表示A的转置), 则行列式|A| = . 2. 矩阵的伴随矩阵= . 3. 向量组, , , 的秩为 , 它的一个最大线性无关组是 。4. 设A为可逆矩阵, 则矩阵方程2XA + 3B = C的解X = . 5. 设矩阵A = 是正交矩阵, 则x, y的值分别为 . 6. 二次型f(x1, x2, x3) = 2+- 3+ 4x1x2 - 6x2x3的矩阵是 .二、 选择题1. 设A是4阶方阵, 则下列条件中 D 与“秩(A) = 3”等价. (A) A的列向量组线性无关, (B) 行列式|A| = 0, (C) A的3阶子式都不为零, (D) 齐次线性方程组Ax = 0的基础解系中仅含有1个解向量. 2. 设A, B都是23的矩阵, 它们的转置分别记为AT 和 BT, 则下列等式中恒成立的是 B . (A) (ATB)T = ABT, (B) 行列式| ATB | = 0, (C) 秩(A+B) = 秩(A) +秩(B), (D) . 3. 下列矩阵中不能相似对角化的是 A . (A) , (B) , (C) , (D) .4. 下列陈述中正确的是 B . (A) 若两个矩阵等价, 则它们的行列式相等, (B) 若两个矩阵等价, 则它们的秩相等, (C) 若两个矩阵相似, 则它们有相同的特征向量, (D) 若两个矩阵合同, 则它们有相同的特征值. 三、 计算题1. 计算行列式的值.2. 求矩阵A = 的逆矩阵. 3. 对于方程组 来说, (1) 当参数a与b满足什么条件时无解?(2) 当参数a与b满足什么条件时有唯一解? (3) 当参数a与b满足什么条件时有无穷多解?并在此条件下求出其通解.4. 设a =, b =, 用Schimidt正交化方法求一个与向量组a, b等价的正交向量组x1, x2. 并用x1, x2把b线性表示出来.5. 设矩阵A = , (1) 求A的特征多项式和特征值. (2) 求正交矩阵P使P -1AP为对角矩阵. (3) 矩阵A的正惯性指数是多少? 矩阵A是否为正定矩阵? 四、 证明题设n阶方阵A满足A2 = A, E为n阶单位矩阵. 证明:(1) A + E和A - 2E都可逆, (2) A的特征值只能为0或1, (3) A相似于一个对角矩阵. 2006-2007学年第3学期(上)线性代数试卷一. (18%)填空题(E表示单位矩阵). 1. 假设a = (1, 3), b = (1, -1), 则(aTb)100 = _. 2. 矩阵A =的逆矩阵A-1 = _. 3. 若33矩阵A = (a, b, g)的行列式等于2, 矩阵B = (b, g, a), 则矩阵A + B的行列式|A+B| = _. 4. 齐次线性方程组3x + 2y - 5z = 0的一个基础解系是_. 5. 向量组a1 = (1, 2, 3, 4)T, a2 = (2, -1, 1, 0)T, a3 = (1, -3, -2, -4)T, a4 = (3, 1, 4, 1)T的一个极大线性无关组_. 6. 若矩阵, 合同, 则参数a, b满足条件_. 二. (12%)选择题. 1. 假设A, B是同阶方阵, 数k 0, 则正确的命题是( ). (A) |A + B| = |A| + |B|; (B) |kA| = k|A|;(C) r(A + B) = r(A) + r(B); (D) r(kA) = r(A). 2. 假设矩阵A =, 则不与A相似的矩阵为( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) .3. 假设A, B都是非零矩阵且AB = O, 则正确的命题是( ). (A) A的行向量组线性相关; (B) B的行向量组线性相关; (C) A, B的行向量组都线性相关; (D) A, B的列向量组都线性相关. 三. (16%)设线性方程组1. 参数k取何值时, 线性方程组有唯一解? k取何值时, 方程组没有解? 2. 当k取何值时, 方程组有无穷多组解? 当方程组有无穷多组解时, 求其通解. 四. (16%)设P =, L =, 并且AP = PL, 求A及A2008. 五. (14%)已知向量h =是矩阵A =的一个特征向量.1. 求参数a, b的值, 并求A的相应于特征向量h的特征值; 2. 问: 矩阵A是否相似于对角阵? 说明你的理由. 六. (14%)已知矩阵A =, 求一正交矩阵Q使得QTAQ为对角阵. 七. (10%)假设n维实行向量a = (a1, a2, ., an), b = (b1, b2, ., bn), 矩阵A = aTb. 1. 证明: A是对称矩阵当且仅当a, b线性相关; 2. 当a, b线性相关时, 求实数k的取值范围, 使得kE + A是正定矩阵. 解析几何题一 填空题1 四点共面的充要条件为 ；2 设实二次型，则当满足条件 时，是椭球面；当满足条件 时，是柱面。3 空间四点，共面的充要条件是 ；4 点到直线的距离为 ；5 若向量，共面，则参数满足 .6 过点且包含轴的平面方程为 .7 以，为顶点的三角形的面积为 ；8 直角坐标系中向量与的向量积为 ；9 过点且与直线垂直的平面的方程为 ；10 若表示一单叶双曲面，则满足条件 ；二 计算题1. 记为由曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面,为以与平面的交线为准线，母线平行于-轴的柱面。试给出曲面，并画出所截有界部分在平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。2. 求经过直线且与平面垂直的平面方程.3. 求直线在平面上的垂直投影直线方程4. 用正交变换化简二次曲面方程求出正交变换和标准形）并指出曲面类型5. 设为由平面中的直线，直线及抛物线围成的平面区域将绕轴旋转一周得旋转体（）画出平面区域的图形；（）分别写出围成的两块曲面的方程；（）求的交线在平面上的投影曲线的方程；（）画出和，的图形6. 已知二次曲面的方程为：，的方程为：。问：，分别是哪种类型的二次曲面？求与的交线在平面上的投影曲线方程；画出由及所围成的立体的草图.7. 已知直线过点，与平面平行，且与直线 相交。求直线的方向向量，并写出直线的方程。8. 假设二次曲面的方程为：；平面的方程为：。(1) 与的交线向平面作投影所得的投影曲线的方程为 ；(2) 该投影曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为 。(3) 在坐标系中画出投影曲线的草图（请给坐标轴标上名称）；(4) 在坐标系中画出与所围成的立体的草图（请给