自动控制原理第7章2.ppt

3相轨迹的奇点 相轨迹上点 处的斜率： 若相轨迹上某点处不同时满足及 ， 则其斜率可唯一确定， 通过该点的相轨迹只有 一条，相轨迹不可能在该点处相交。 1 相轨迹上点 处的斜率： 若相轨迹上某点处同时满足及 ，即 型，则其斜率不确定， 这样的点称为奇点。相轨迹有无穷多条， 通过该点的 2 奇点 系统的平衡点 一般来说，线性系统只有一个奇点； 一般来说，非线性系统有多个奇点。 3 例7-5 给定一个非线性二阶系统 求它在相平面内的奇点。 4 4相轨迹通过 轴处的斜率 相轨迹通过 轴处的斜率为 ， 即相轨迹与 轴垂直相交。 0 5 5相轨迹的运动方向 在相平面的上半平面，相轨迹从左向右 运动； 在相平面的下半平面，相轨迹从右向左 运动。 6 7.3.3 相平面图的绘制 1解析法 所谓解析法就是求得相轨迹方程 有两种方法： 对斜率方程直接积分， 求取相轨迹方程。 7 例7-6 设系统的微分方程为 ， 其中 为常量，初始条件为 ， 。绘制系统 的相轨迹图。 8 根据给定的微分方程式分别求出 和 关于时间 的函数关系，然后再从这两个关系式中消去变量 ， 得到相轨迹方程。 继续分析上一个例子。 9 00 10 2等倾线法 等倾线法的优点是不必求解微分方程，而通过作图 即可近似地画出系统的相轨迹。它适合于分析能用数学 解析表达的非线性系统，也适合于分析线性系统。 11 相轨迹的斜率方程： 指定的常数 上式表示一条曲线，该曲线上每一点处的相轨迹的 ，切线斜率都是这样的曲线称为 。等倾线 12 0 等倾线 切线方向 斜率固定 相轨迹 13 例7-7画出二阶线性系统的相轨迹。 特取 ， 。 14 0 15 注意事项 当等倾线为曲线时，用等倾线法画相轨迹是很麻烦 的。用等倾线法画相轨迹一般只适合于等倾线为直线的 情形。 16 7.4 相平面图的分析 根据相平面图 可以求出系统动态过程的时间函数； 可以分析二阶线性系统和非线性系统 的动态品质。 超调量 振荡次数 17 7.4.1 由相平面图求取系统运动 的时间解 由相平面（ - 平面）上的相轨迹，求取 关于 的函数关系式 。 本课程介绍两种方法： 1 根据 求时域解 （近似式） 18 0 A B C D 19 0 A B C D 20 2 根据 求时域解 21 0 1-1 1 A B 1-1 A B 0 22 7.4.2 线性系统的相平面分析 给定二阶线性系统的微分方程 在相平面内相轨迹的斜率方程为 23 1 无阻尼情形（ ） 00 中心点 24 2 欠阻尼情形（ ） 00 稳定焦点 25 3 过阻尼情形（ ） 0 系统过渡过程单调衰减 0 稳定节点 26 4 负阻尼情形 00 不稳定焦点 27 0 正实特征根 不稳定节点 0 28 5给定二阶线性系统的微分方程 其特征方程为 其特征根为 29 0 不稳定的平衡状态 0 鞍点 30 7.4.3 非线性系统的相平面分析 1非线性系统的局部特性 非线性系统可以有多个奇点，在每个奇点附近的局部 区域内，相轨迹与线性系统的情形十分相似。 如果上述非线性系统的奇点为原点， 则应用Taylor 公式可展开为： 31 在原点附近略去高阶项，得近似线性系统 非线性系统的局部特性可以由上一小节分析的线性 系统的各种相轨迹来近似。 32 2非线性系统的极限环 在相平面中，极限环定义为一条孤立的封闭曲线。 极限环的轨迹必须同时具备 和 这两个封闭性孤立性 性质。 体现周期 运动特性 体现极限 特性 33 极限环的分类 稳定极限环 当 时，在极限环邻域内的所有轨迹都收敛 于该极限环， 这样的极限环称为稳定极限环。 它表示系统的运动是一种稳定的带固有周期的 自持振荡。 在系统设计时，应尽可能减小极限环， 以满足稳态精度的要求。 34 稳定极限环 0 极限环外部稳定 极限环内部不稳定 35 不稳定极限环 当 时， 在极限环邻域内的所有相轨迹都从 该极限环离开，这样的极限环称为不稳定极限环。 36 不稳定极限环 0 极限环外部不稳定 极限环内部稳定 37 半稳定极限环 当 时， 在极限环邻域内的某些相轨迹从 该极限环离开， 这样的极限环称为半稳定极限环。 而另一些相轨迹收敛于该极限环， 在系统设计时，应尽可能增大稳定区域。 38 0 极限环外部不稳定 极限环内部不稳定 半稳定极限环（情形I） 39 0 极限环外部稳定 极限环内部稳定 半稳定极限环（情形II） 40 例7-8分析下述非线性系统的极限环 41 3非线性系统的相平面分析 这一节研究含有典型非线性环节的控制系统对于 不同输入信号下的系统运动相轨迹。 这类非线性系统可以通过几个分段的线性系统来 近似。 整个相平面划分为若干个区域，其中每个区域 对应一个线性工作状态。 42 如果一个区域的奇点位于该区域之内，则称为 实奇点； 如果位于该区域之外， 则称为虚奇点。 二阶非线性系统只能有一个实奇点，而在该实奇点 所在区域之外的其他区域，都只能有虚奇点。 每一个奇点的类别和位置取决于系统在该区域的 微分方程，还取决于输入信号的形式及大小。 43 将相邻区域的相轨迹根据在两区域分界线上的点应 具有相同工作状态的原则连接起来。 这样便获得了整个 非线性系统的相轨迹。 44 分析非线性系统的一般步骤 1 将非线性特性用分段的直线特性来表示， 写出相应的数学表达式。 2 在相平面内选择合适的坐标，一般常用误差 及 其导数 分别为横坐标及纵坐标。然后将相平面 根据非线性划分成若干区域，使非线性特性在每 个区域内都呈现线性特性。 45 3 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。 在某些情况下，奇点与输入信号的形式及大小 有关