江苏高考数学复习三角函数解三角形第21课任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书.docx

第五章三角函数、解三角形第21课 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲内容要求ABC三角函数的概念1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角度与弧度的换算：a.1 rad；b.1 rad.弧长公式：lr|.扇形面积公式：Slrr2.3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫作的正弦，记作sin x叫作的余弦，记作cos 叫作的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1.(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)角的三角函数值与终边上点P的位置无关()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改编)已知角的终边与单位圆的交点为M，则sin _.由题意知|r|22y21，所以y.由三角函数定义知sin y.3.若cos 0，且sin 20，则角的终边在第_象限四由cos 0，sin 22sin cos 0得sin 0，则角的终边在第四象限4.在单位圆中，200的圆心角所对的弧长为_单位圆的半径r1,200的弧度数是200，由弧度数的定义得，所以l.5.已知半径为120 mm的圆上，有一条弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_rad.1.2由题意知1.2 rad.角的有关概念及其集合表示(1)若角是第二象限角，则是第_象限角. 【导学号：62172118】(2)已知角的终边在如图211所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_图211(1)一或三(2)(kZ)(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角综上，是第一或第三象限角(2)在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为(kZ)规律方法1.与角终边相同的角可以表示为2k(kZ)的形式，是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用2由所在象限，判定所在象限，应先确定的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论变式训练1已知角45，在区间720，0内与角有相同终边的角_.675或315由终边相同的角的关系知k36045，kZ，取k2，1，得675或315.扇形的弧长、面积公式(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 【导学号：62172119】解(1)设圆心角是，半径是r，则解得(舍去)或扇形的圆心角为.(2)设圆心角是，半径是r，则2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.当且仅当r10时，Smax100，此时2101040，2，当r10，2时，扇形的面积最大规律方法1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解2利用公式：(1)lR；(2)SlR；(3)SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量变式训练2若扇形的圆心角120，弦长AB12 cm，则弧长l_cm.设扇形的半径为r cm，如图由sin 60，得r4 cm，l|r4 cm.三角函数的定义(1)若tan 0，则下列说法正确的是_(填序号)sin 0；cos 0；sin 20；cos 20.(2)已知角的终边经过点A(，a)，若点A在抛物线yx2的准线上，则sin _.(1)(2)(1)由tan 0知角是第一或第三象限角，当是第一象限角时，sin 22sin cos 0；当是第三象限角时，sin 0，cos 0，仍有sin 22sin cos 0，故正确(2)抛物线方程yx2可化为x24y，抛物线的准线方程为y1.点A在抛物线yx2的准线上，A(，1)，由三角函数的定义得sin .规律方法1.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题2确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断变式训练3(1)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan 2_.(2)函数y的定义域为_(1)(2)(kZ)(1)由三角函数的定义可得cos .cos x，x，又是第二象限角，x0，故可解得x3，cos ，sin ，tan ，tan 2.(2)2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)思想与方法1在利用三角函数定义时，点P(x，y)可取终边上任意一点，若点P在单位圆上，则sin y，cos x，tan ；若|OP|r，则sin ，cos ，tan .2三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦3利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法易错与防范1第一象限角、锐角、小于90的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况课时分层训练(二十一)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题是_(填序号)是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确40036040，从而正确31536045，从而正确2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是_由题设知，圆弧的半径r，圆心角所对的弧长l2r.3已知点P(cos ，tan )在第三象限，则角的终边在第_象限二由题意可得则所以角的终边在第二象限4已知点P在角的终边上，且0,2)，则的值为_. 【导学号：62172120】因为点P在第四象限，根据三角函数的定义可知tan ，则.5已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2_.取终边上一点(a,2a)(a0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos ，故cos 22cos21.6已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_设扇形半径为r，弧长为l，则解得7(2017无锡期中)已知角的终边经过点P(10，m)，且tan ，则m的值为_8由题意可知tan ，m8.8(2017盐城期中)若sin ，2，3，则_.2，3，.由sin ，可知，即.9若角的终边在直线yx上，则2sin cos a_. 【导学号：62172121】设P(4a，3a)(a0)是角终边上任意一点，则OPr5|a|.当a0时，r5a，此时sin ，cos ，则2sin cos .当a0时，r5a，此时，sin ，cos ，所以2sin cos .10已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为_1由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.4已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos 的符号解(1)由sin 0，知在第三、四象限