高中数学第二章变化率与导数章末综合测评含解析北师大版.docx

(二)变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)2x21，那么该质点从x1到x2的平均速度为()A.4B.5C.6D.7【解析】6.【答案】C2.设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a()A.1 B.C.D.1【解析】y2ax，于是切线斜率kf(1)2a，由题意知2a2，a1.【答案】A3.下列各式正确的是()A.(sin )cos (为常数)B.(cos x)sin xC.(sin x)cos xD.(x5)x6【解析】由导数公式知选项A中(sin )0；选项B中(cos x)sin x；选项D中(x5)5x6.【答案】C4.设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a等于() A.0 B.1 C.2 D.3【解析】令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12.a3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f(x)的图像大致形状是()图1ABCD【解析】由图像知f(x)ax2c(a0)，f(x)2ax(a0，所以ex2，所以y1，0)，所以tan 1，0).又因为0，)，所以.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.设函数yf(x)是一次函数，若f(1)1，且f(2)4，则f(x)_.【解析】yf(x)是一次函数，设f(x)axb，f(x)a，则f(1)ab1，又f(2)a4.即a4，b3，f(x)4x3.【答案】4x314.若抛物线yx2xc上一点P的横坐标为2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_. 【解析】y2x1，当x2时，y5.又P(2，6c)，5，c4.【答案】415.设函数f(x)(xa)(xb)(xc)(a，b，c是两两不等的常数)，则_.【解析】f(x)(xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)，f(a)(ab)(ac)，同理f(b)(ba)(bc)，f(c)(ca)(cb)，代入原式中得值为0.【答案】016.设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f(x)是奇函数，则_.【解析】f(x)sin (x)(x)sin (x)，f(x)f(x)cos(x)sin(x)2 cos，当f(x)f(x)为奇函数时，k，kZ，k，kZ，0，.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求下列函数的导数.(1)y3x2xcos x；(2)y；(3)y.【解】(1)y(3x2)(xcos x)6xxcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)法一：y.法二：y.(3)yx12x25x3，yx22(2)x35(3)x4.18.(本小题满分12分)已知曲线yf(x)x38x2.(1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l：ykx，求切线l的方程.【解】(1)f(x)x38x2，f(x)3x28，则f(0)8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y28(x0)，即8xy20.(2)设切点为P(a，a38a2)，切线斜率k3a28，则切线方程y(a38a2)(3a28)(xa)，又因为切线过原点，所以0(a38a2)(3a28)(0a)，即2a320，所以a1，即切线l斜率为k5，切线l方程为y5x，即5xy0.19.(本小题满分12分)(2016广州高二检测)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程.【解】(1)由yx3x2，得y3x21，由已知得3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(1，4).(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为，因为l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，所以直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.20.(本小题满分12分)(2016北京高考改编)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求过点(2，f(2)且与切线y(e1)x4垂直的直线方程l.【解】(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，即(2)由(1)知kl，且f(2)2e2，y(2e2)(x2).即所求直线l的方程为yx2e2.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)aln xx2.(1)若a1，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)对于任意x2使得f(x)x恒成立，求实数a的取值范围.【解】(1)当a1时，f(x)ln xx2，则f(x)2x，故在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)3，又f(1)1，即切点为(1，1)，故切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)当x2时，f(x)x，即2xx(x2)恒成立，即ax2在x2，)上恒成立.令tx2，当x2，)时，易知tmax4，为使不等式ax2恒成立，则a4，故实数a的取值范围为4，).22.(本小题满分12分)(2016无锡高二检测)已知两曲线f(x)x3ax，g(x)ax2bxc都经过点P(1，2)，且在点P有公切线.(1)求a，b，c的值；(2)设k(x)，求k(2)的值.【解】(1)依题意，即故f(x)x3