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文档简介

第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.下列函数为奇函数的是()A.y=xB.y=exC.y=cos xD.y=ex-e-x2.(2017湖北襄阳模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是()A.y=-1xB.y=3-x-3xC.y=x|x|D.y=x3-x3.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()A.4 B.3C.2 D.14.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是()A.B.C.12,32D.5.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0x1时, f(x)=2x(1-x),则f52的值为()A.12 B.14C.-14 D.-126.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x12时, f x+12=f .则f(6)=()A.-2 B.-1 C.0 D.27.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0xf(a),则实数a的取值范围是.10.已知函数f(x)=-x2+2x,x0,0,x=0,x2+mx,x0是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.11.设f(x)是(-,+)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当0x1时, f(x)=x.(1)求f()的值;(2)当-4x4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3)写出在(-,+)内函数f(x)的单调区间.B组提升题组12.(2016安徽江南十校联考)设f(x)=x+sin x(xR),则下列说法的是()A.f(x)是奇函数B.f(x)在R上单调递增C.f(x)的值域为RD.f(x)是周期函数13.(2016吉林长春模拟)设函数f(x)(xR)满足f(x+)=f(x)+sin x.当0xf(2x-1)成立的x的取值范围是()A.13,1B.(1,+)C.-13,13D.15.(2015广东惠州六校联考)定义在R上的奇函数f(x)和定义在x|x0上的偶函数g(x)分别满足f(x)=g(x)=log2x(x0),若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则实数b的取值范围是()A.-2,2B.-2,-1212,2C.-12,00,12D.(-,-22,+)16.(2016安徽芜湖一中月考)设f(x)是定义在实数R上的函数,若y=f(x+1)是偶函数,且当x1时, f(x)=12x-1,则f23, f32, f13的大小关系是()A.f23f32f13B.f23f13f32C.f32f23f13D.f13f32f2317.设f (x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上, f (x)=其中a,bR.若f 12=f 32,则a+3b的值为.18.(2016内蒙古包头九中期中)若关于x的函数f(x)=tx2+2x+t2+sinxx2+t(t0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为.19.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0x1时, f(x)=12x,求在0,2 014上使f(x)=-12的所有x的个数.答案全解全析A组基础题组1.D对于A,定义域不关于原点对称,则y=x既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于B,y=ex既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于C,y=cos x是偶函数,故不符合要求;对于D,令y=f(x)=ex-e-x.f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),y=ex-e-x为奇函数,故选D.2.C对于A,y=f(x)=-1x的定义域为x|x0,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上不单调;对于B,y=f(x)=3-x-3x的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上是单调减函数;对于C,y=f(x)=x|x|的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,是定义域R上的单调增函数,满足题意;对于D,y=f(x)=x3-x的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在R上不是单调函数.故选C.3.B由已知得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),则有-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,解得g(1)=3.4.Cf(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且f(-2)=f(2),原不等式可化为f(2|a-1|)f(2).故有2|a-1|2,即|a-1|12,解得12a12时,由f x+12=f x-12可得当x0时, f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故选D.7.答案-2解析f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,又f(x)的周期为2,f(2)=0,又f-52=f-12=-f12=-412=-2,f-52+f(2)=-2.8.答案-28解析函数f(x)=为奇函数,g(x)=-f(-x)=-(x2-3x)=-x2+3x,g(-1)=-1-3=-4,f(g(-1)=f(-4)=g(-4)=-16-12=-28.9.答案(-2,1)解析f(x)是奇函数,当xf(a),得2-a2a,解得-2a1.10.解析(1)设x0,所以f(x)=x2+mx, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.(2)要使f(x)在-1,a-2上单调递增,结合f(x)的图象知所以1a3,故实数a的取值范围是(1,3.11.解析(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f()=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x),故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0x1时, f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则当-4x4时, f(x)的图象与x轴围成的图形如图所示,设其面积为S,则S=4SOAB=4=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k-1,4k+1(kZ),单调递减区间为4k+1,4k+3(kZ).B组提升题组12.D因为f(-x)=-x+sin(-x)=-(x+sin x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;因为f (x)=1+cos x0,所以函数f(x)在R上单调递增,故B正确;因为f(x)在R上单调递增,所以f(x)的值域为R,故C正确;f(x)不是周期函数,故选D.13.Af(x+2)=f(x+)+sin(x+)=f(x)+sin x-sin x=f(x),f(x)的周期T=2,又当0x0时, f(x)=ln(1+x)-11+x2,f (x)=11+x+2x(1+x2)20,f(x)在(0,+)上为增函数,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,由f(x)f(2x-1)得f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-1|,即3x2-4x+10,解得13x1,故选A.15.B当x0时,0f(x)1,f(x)是奇函数,f(x)的值域为-1,1.存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则-1g(b)=log2|b|1,解得-2b-12或12b2,故选B.16.Ay=f(x+1)是偶函数,f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.f32=f12+1=f-12+1=f12,当x1时, f(x)=12x-1,为减函数,当x1时,函数f(x)为增函数.1312231,f13f12f32f13.17.答案-10解析T=2,f32=f-12=-12a+1.f12=12b+212+1=b+43,f32=f12,-12a+1=b+43,32a+b=-1.又由题意知f(1)=f(-1),b+22=-a+1,b=-2a.由解得a=2,b=-4,a+3b=-10.18.答案2解析 f(x)=tx2+2x+t2+sinxx2+t=t+2x+sinxx2+t,易知函数y=2x+sinxx2+t是奇函数,函数f(x)的最大值为M,最小值为N,M-t=-(N-t),则2t=M+N=4,t=2.19.解析(1)证明:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数.(2)当0x1时, f(x)=12x,设-1x0,则0-x1,f(-x)=12(-x)=-12x.f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),-f(x)=-12x,即f(x)=12x.故f(x)=12x(-1x1).另设1x3,则-1x-21,f(x-2)=12(x-2).f(x)是

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