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第2讲 导数的应用(一)一、选择题1与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10解析设切点坐标为(x0,x),则切线斜率为2x0,由2x02得x01,故切线方程为y12(x1),即2xy10.答案D2若函数h(x)2x在(1,)上是增函数,则实数k的取值范围是 ()A(2,) B(2,)C(,2) D(,2)解析由条件得h(x)20在(1,)上恒成立,即k2x2在(1,)上恒成立,所以k(2,)答案A3函数f(x)(4x)ex的单调递减区间是 ()A(,4) B(,3)C(4,) D(3,)解析f(x)ex(4x)exex(3x),令f(x)0,3x3.答案D4函数f(x)ax3bx在x处有极值,则ab的值为()A2 B2 C3 D3解析 f(x)3ax2b,由f3a2b0,可得ab3.故选D.答案 D 5对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有()Af(0)f(2)2f(1)解析不等式(x1)f(x)0等价于或可知f(x)在(,1)上递减,(1,)上递增,或者f(x)为常数函数,因此f(0)f(2)2f(1)答案C6已知函数f(x)的定义域为1,5,部分对应值如下表f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示下列关于函数f(x)的命题:函数yf(x)是周期函数;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数yf(x)a有4个零点其中真命题的个数有 ()A4 B3 C2 D1解析依题意得,函数f(x)不可能是周期函数,因此不正确;当x(0,2)时,f(x)0,因此函数f(x)在0,2上是减函数,正确;当x1,t时,f(x)的最大值是2,依题意,结合函数f(x)的可能图象形状分析可知,此时t的最大值是5,因此不正确;注意到f(2)的值不明确,结合图形分析可知,将函数f(x)的图象向下平移a(1a0,当x(0,2)时,f(x)0,显然当x2时f(x)取极小值答案 29若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_解析f(x)5ax4,x(0,),由题意知5ax40在(0,)上有解即a在(0,)上有解x(0,),(,0)a(,0)答案(,0)10已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数,则b的取值范围是_解析yx22bx(2b3),要使原函数在R上单调递减,应有y0恒成立,4b24(2b3)4(b22b3)0,1b3,故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3.答案(,1)(3,)三、解答题11设函数f(x)ax33x2,(aR),且x2是yf(x)的极值点,求函数g(x)exf(x)的单调区间解f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点所以f(2)0,即6(2a2)0,因此a1,经验证,当a1时,x2是函数f(x)的极值点,所以g(x)ex(x33x2),g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x)(x)ex.因为ex0,所以yg(x)的单调增区间是(,0)和(,);单调减区间是(,)和(0,)12已知函数f(x)x3ax1(1)若f(x)在(,)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在试说明理由解 (1)f(x)3x2a由0,即12a0,解得a0,因此当f(x)在(,)上单调递增时,a的取值范围是(,0(2)若f(x)在(1,1)上单调递减,则对于任意x(1,1)不等式f(x)3x2a0恒成立即a3x2,又x(1,1),则3x2e2.注:e是自然对数的底数(1)解易知函数f(x)的定义域为(0,1)(1,),f(x).由函数f(x)在内有极值,可知方程f(x)0在内有解,令g(x)x2(a2)x1(x)(x)不妨设0e,又g(0)10,
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