高等数学-极限与连续(习题).doc

第二章极限与连续习题2-11、观察下列数列的变化趋势,判别哪些数列有极限,如有极限,写出它们的极限.(1) ； 有. .(2) ； 有. .(3) ； 无. (4) ； 无.(5) ； 有. .(6) ； 无.(7) ； 有. .(8) . 无.2、设,问(1) (2) 应为何值时,才能使与其极限之差的绝对值小于？解：(1) 显然,可见；(2) 欲使,只需即可.3、对于数列,给定(1);(2); (3)时,分别取怎样的,才能使当时,不等式成立,并利用极限定义证明此数列的极限为.解：欲使,只需.(1)若给定,此时,取即可;(2)若给定,此时,取即可;(3)若给定,此时,取即可;下面证明. 欲使,只需.,取,当时,恒有,所以 .4、用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？(1)设数列,当越来越大时,越来越小,则.解：结论错误.例如取,显然越来越小, 但.(2)设数列,当越来越大时,越来越接近于,则.解：结论错误.例如取,显然越来越接近于, 但.(3)设数列,当时,有无穷多个 满足,则.解：结论错误.例如取,显然,那么,当时,有无穷多个,满足,但显然不存在.(4)设数列,若对,中仅有有限个不满足,则.解：结论正确.,假设仅有不满足,于是取,那么当时,所以.5、用极限性质判别下列结论是否正确,为什么？(1)若收敛,则(为正整数)；解：结论正确.显然是的子数列,故.(2)有界数列必收敛；解：结论错误.例如取,虽然有界,但显然发散.(3)无界数列必发散；解：结论正确. 因收敛数列必有界,那么无界数列必发散.(4)发散数列必无界.解：结论错误.例如取,虽然发散,但显然有界.6、利用数列的“”分析定义证明下列极限：(1) ；分析：,欲使,只需或即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .(2) ；分析：,欲使,只需或即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .(3) ；分析：,欲使,只需或即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .(4) .分析：,欲使,只需或即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .7、若,证明,并举例说明,如果数列有极限,但数列未必有极限.证明：因,有,时, 于是 , 所以. 而若取,显然,但显然没有极限.8、对于数列,若,证明,.证明：因,有,时,又因,对,时,取,当时,若,有,若,有,总之,当时,所以,.习题2-21、用极限定义证明：(1) ；分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .(2) ；分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .(3) .分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .2、用极限定义证明：(1) ；分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .(2) .分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .3、当时,问等于多少,则当时, ？(提示：因为,所以不妨设).解：欲使,只需即可.因此,取,当时,有.4、设作的图形,并讨论时, 的左右极限(利用第1题(3)的结果).解：(1) 的图形.(2) 令,已知,于是,.显然,当时,于是；当时,于是.5、证明,当时的极限为零.证明：,取,当时,恒有, 所以 .6、函数,回答下列问题：(1)函数在处的左右极限是否存在？答：在处的左右极限是均存在.这是因为：；.(2)函数在处是否有极限？答：在处是没有极限.这是因为：.(3)函数在处是否有极限？答：在处有极限.这是因为：；.由于,故.7、证明的充要条件是.证明:“必要性”,时,从而,当 时, ；也有,当 时, ,所以 .“充分性” , 当 时, ；当 时, ,取,当时,有, 所以 .8、设,证明当充分大时.证明:因,对于, 当时,.所以.习题2-31、根据定义证明：(1) 为当时的无穷小；证明：,取,当时,恒有, 所以为当时的无穷小.(2) 为当时的无穷小.证明：,取,当时,恒有, 所以为当时的无穷小.2、根据定义证明：函数为当时的无穷大,问应满足什么条件,能使？(1)分析：,欲使,只需即可.证明：,取,当时,恒有, 所以 .(2) 欲使,取, 则满足即可.3、利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限：(1) .解：因, 有(无穷小),(有界), ,则, 所以.(2) . 解：因, 有(无穷小),(有界), ,则, 所以.4、函数在区间内是否有界?又当时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)取,则, 可见, 函数在区间内无界.(2)取,则,可见,当时,函数不是无穷大.4、函数在区间内是否有界?又当时,这个函数是否为无穷大?为什么?解：(1)当时,可见, 函数在区间内有界.(2)因函数在区间内有界,可见,当时,函数不是无穷大.习题2-41、填空题：(1)已知为常数,则 0 , 6 ;解：由于,有.而,有.(2)已知为常数,则 1 , -1 ;解：由于,有.而有.(3)已知为常数,则 2 , -2 .解：由于,有.而,有2、求下列极限：(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6).3、求下列极限：(1) .解：由于,所以.(2) .(3) .(4)(5) .(6) .(7) .(8) .(9) .(是自然数).(10) .(11) .(12) .4、求下列极限：(1) ;解：由于,所以.(2);解：由于,所以.(3);解：由于,所以.5、设,不存在,证明不存在.证明：反证.假设,则,可见存在,这与条件不存在冲突,所以不存在.习题2-51、求下列极限：(1).(2).(3).(4),(为不等于零的常数).(5).(6).(7).(8).(9).2、求下列极限：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).3、利用极限存在准则证明：(1) .证明：由于，而, ,所以.(2)设,则有 .证明：由于，而, 所以.(3)设,证明数列存在极限并求之.证明：显然,假设,有, 因此, ；由于,假设,有 因此,为单调递增数列；由知, 数列必存在极限.假设，显然有，且，即，得 (舍去),所以.(4)数列,的极限存在.证明：显然,而,由于, 即,因此,为单调递减数列；由知,因此数列的极限必存在.4、某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？解：设为发行时每份债券的价格,年利率为,年后每份债券一次偿还本息元,若以连续复利计算利息,则,即,得(元).习题2-61、当时,下列各函数都是无穷小,试确定哪些是观的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？(1) ；解：因为,所以,.(等价无穷小)(2) ；解：因为,所以,. (同阶无穷小)(3) ；解：因为,所以,. (高阶无穷小)(4) ；解：因为,所以,. (高阶无穷小)(5) ；解：因为,所以,.(等价无穷小)(6) .解：因为,所以,. (同阶无穷小)2、证明当时,有：(1) ；证明：因为,所以,.(2) ；证明：因为,所以,. (3) ；证明：因为,所以,.(4) .证明：因为,所以,.3、利用等价无穷小的性质,求下列极限：(1) . 其中：,.(2) . 其中：,.(3) .其中：,.(4) . 其中：,.(5) .其中：,.(6) . 其中：时,而时,.4、证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1) (自反性)；证明：因,所以.(2) 若,则(对称性)；证明：已知,因,所以.(3) 若,则(传递性).证明：已知,因,所以习题2-71、研究下列函数的连续性,并画出函数图形：(1) 解：显然,函数在,以及连续.由于,则在间断；由于,则在连续.总之,函数在,连续,在间断.(2) 解：显然,函数在,连续. 由于,有,则在连续.总之,函数在连续.2、确定常数使下列函数连续：(1) 解：显然,函数在,连续. 由于,欲使在连续,只需,即.因此,仅当时,函数在连续.(2) 解：显然,函数在,连续. 由于,欲使在连续,只需,有,即,.因此,仅当,时,函数在连续.3、下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.(1) , ,；解：, .由于,可见, 是函数的可去间断点,属第一类间断点.欲使在连续,只需定义即可.由于,可见, 是函数的无穷间断点,属第二类间断点.(2) , ,；解：, ,.由于,可见, 是函数的可去间断点,属第一类间断点.欲使在连续,只需定义即可.由于,可见,是函数的无穷间断点,属第二类间断点.(3) , ；解：, .显然函数有界,由于不存在,可见, 是函数的振荡间断点,属第二类间断点.(4) .解：由于,可见,是函数的跳跃间断点,属第一类间断点.4、求函数的连续区间,并求极限,及.解：,. 显然,函数在,以及连续.,.5、求下列极限：(1) .(2) .(3) .(4) .6、求下列极限：(1) .(2) .(3) .(4) .7、讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型.解：当时,；当时,所以显然,函数在,连续,在点间断点.由于,可见,是函数的可去间断点,属第一类间断点.习题2-81、试证下列方程在指定区间内至少有一个实根： (1) ,在区间；证明：显然,由于,由零点定理知,即,所以方程 在内至少有一个根.图形 plot(x5-3*x2-1,x=1.2);(2) ,在区间.证明：显然,由于,由零点定理知,即,所以方程 在内至少有一个根.图形 plot(exp(x)-x-2,x=0.2);2、设在上连续,且,证明在内必存在一点使,其中为自然数.证明：若全为零,则结论显然成立；若不全为零,因,知在上存在最小值和最大值,令,由于即,又因,则必,即.3、设函数在上连续,且,证明在内至少存在一点,使.证明：若,则结论显然成立；若,已知,显然,由于,由零点定理知