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金融工程第九章 期 权 定 价 (LF9_2_20) 1第九章：期权定价 第一节 期权价格的性质 确定期权价格(期权费)，是金融工具定价中技术含量最 高的。舒尔斯和默顿两位经济学家，由于期权定价的贡献， 获得了1997年诺贝尔经济学奖。 要讨论期权的价格，首先需要讨论，期权价格都和哪些 因素(变量)有关？ 上一章讲了牛市价差、熊市价差，及如何根据盈亏分析 图、盈亏分析表，对于期权及组合进行盈亏分析。 一、期权价格的构成 2第九章：期权定价 1、内在价值 定义9-1-1：内在价值(Intrinsic Value)，是指期权买方执 行期权合约时的收益： 事实上，期权价格由内在价值和时间价值两部分构成。 1) 内在价值的定义 看跌期权内在价值=max(K S，0) (9-0-2) 看涨期权内在价值=max(S K，0) (9-0-1) 2) 内在价值定义的说明 3第九章：期权定价 3) 内在价值举例 (2) 期权的内在价值，是实值期权与平价期权的最大值。 (3) 内在价值与标的资产的执行价K及市场价S有关，与 看涨期权、看跌期权有关。 【例9-1】 某投资者买入一份执行价格为40美元、市场 价为42美元的股票看涨期权。 试确定该看涨期权的内在价值是多少？ (1) 内在价值，是期权合约的价值，是期权合约带给期权 买方的收益。 4第九章：期权定价 2、时间价值 看涨期权内在价值=max(S K，0) = max(42 40，0)=2(美元) 这表明，每只股票看涨期权的内在价值是2美元，每份期 权合约的内在价值是200美元。 定义9-1-2：期权的时间价值(Time Value)又称为“外在价 值”，是指在有效期内，由于标的资产价格波动，给期权持有 1) 定义 解，已知：K=40，S=42，由公式(9-0-1) ，有： 5第九章：期权定价 2) 时间价值举例 【例9-2】 某一股票看涨期权在6个月后到期，标的资产 执行价为50元，股票现在的市场价为50元，这一期权现在的 内在价值等于零。 随着时间的推移，在未来的6个月内，该只股票的市场价 超过50元的可能性随着时间的变化而变化。 假设股票价格上涨到60元，看涨期权的持有者就可以赚 取100(6050)1000元的利润； 者收益增加的价值。 6第九章：期权定价 期权“盈利” 机会的价值，就是该期权的时间价值。 3) 时间价值的结论 1) 距离到期日越远，标的资产价格波动幅度高的可能性 越大，期权的时间价值就越大。 2) 随着期权剩余有效期的缩短，期权的时间价值会下降 ，随着期权到期日的临近，期权的时间价值逐渐接近于0。见 图9-1。 假设股票的市场价格一直停留在50元以下，该期权的持 有者将放弃其购买股票的权利，他损失的是很少的期权费 。 7第九章：期权定价 . 图9-1 期权的时间价值与到期日的关系. 到期日 时间价值 0 时间 8第九章：期权定价 定义9-1-3：期权价格由内在价值和时间价值构成，即： 3、期权价格 为了将看涨期权与看跌期权统一起来，考虑： 内在价值=max(| S K |，0) 2) 期权的时间价值与内在价值的关系 期权价格=内在价值+时间价值 (9-0-3) 1) 期权价格的定义 9第九章：期权定价 当合约标的资产的执行价格K与市场价格S相等，这时内 在价格等于0，时间价值达到最大。如图9-2所示。 4、期权价格与时间价值及内在价值的关系 通过以上讨论可以得到如下结论： 1、实值期权的价格由时间价值和内在价值两部分组成。 2、虚值期权和平价期权的价格完全由时间价值构成。 说明：由于期权内在价值=max(|S K|，0)，而虚值期权 期权的价格是一个固定值，由式(9-0-3)可以看出：期权 的内在价值越大，时间价值越小； 10第九章：期权定价 图9-2 S K 11第九章：期权定价 3、平价期权(S=K)的时间价值达到最大，见图9-2。 4、期权的时间价值伴随期权到期日的临近而减少，到期 时时间价值为 0，见图9-1，期权价格全部由内在价值构成。 根据以上特点，得到看涨期权中期权价格、内在价值、 时间价值三者之间的变动关系，见图 9-3 。 二、期权价格的影响因素(自己看) 期权价格由内在价值和时间价值构成，故凡是影响这两 个指标的因素，都会影响到期权价格。共5个方面。 和平价期权的内在价值为0，这时的期权价格只有时间价 值。 12第九章：期权定价 标的资产的市场价、协议价分别为S、K。由定义： 看涨期权内在价值=max(S K，0) 期权价格=期权的内在价值+期权的时间价值 图9-3 SK(实值期权) 13第九章：期权定价 由于看涨期权与看跌期权的内在价值不同，因此，需要 分别讨论。 1、标的资产的市场价与协议价 看涨期权价格=看涨期权的内在价值+期权的时间价值 =max(S K，0) +期权的时间价值 从上式可以看出，标的资产的市场价格越大，或标的资 产的协议价格越小，看涨期权的价格越大。 1) 看涨期权 14第九章：期权定价 看跌期权价格=看跌期权的内在价值+期权的时间价值 =max(K S，0) +期权的时间价值 从上式可以得出如下结论： 标的资产的市场价格越小，标的资产的协议价格越大， 看跌期权的价格越大。 2) 看跌期权 分美式期权及欧式期权两种情况讨论。 2、期权的有效期 15第九章：期权定价 对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执 行，有效期越长，多头获利机会就越大. 而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行 机会，因此有效期越长，期权价格越高。 1) 美式期权 对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长 的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。 2) 欧式期权 16第九章：期权定价 标的资产价格的波动率，是用来衡量标的资产未来价 价格变动不确定性的指标。 3、标的资产价格的波动率 例如：同一股票的两份欧式看涨期权，一份有效期为 1 个月，另一份有效期为 2个月。 假定在 40天后标的股票将支付红利配股，这将使股票的 市场价S下降，故在这种情况下，有效期短的期权价格会大 于有效期长的期权。 因此，欧式期权的有效期与期权价格之间的关系要复杂 的多。 17第九章：期权定价 波动率：是标的资产价格偏离平均价格的程度，是标的 资产价格的方差。 4、无风险利率 由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格； 而最大盈利，则取决于执行期权时，标的资产市场价与 协议价之差。 因此波动率越大，也就是标的资产市场价波动的幅度越 大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。 波动率，可以通过标的资产价格的历史数据的方差求得 ；这一方法确定的波动率称为历史波动率。 18第九章：期权定价 无风险利率对期权价格的影响是间接的，以债券为例。 1) 若无风险利率较高，人们对标的资产预期收益率增加 使得价格S也会较高，导致看跌期权多方收益(KS)下降。 2) 另一方面，由债券的价格公式： 1) 看跌期权 由于利率与价格成反比，故无风险利率高时，期权持有 者未来现金流的现值将会减少。 以上两种情况都将影响看跌期权的价值，即随着无风险 19第九章：期权定价 1) 对于看涨期权，无风险利率增加，标的资产价格S增 加，看涨期权的价值增加； 2) 与看跌期权同样的理由，随着无风险利率的增加，看 涨期权标的物的价值也会下降。 无风险利率对看涨期权影响的两个效应相反，但前者的 影响大于后者，故当无风险利率上升时，看涨期权价格一般 是上涨的。 2) 看涨期权 利率的增加，看跌期权的价值下降。 5、标的资产产生收益 20第九章：期权定价 由于标的资产分红、付息等将减少标的资产的价格S， 而协议价格K并未进行相应调整，由公式： 看涨期权内在价值=max(S K，0) (9-0-1) 因此，在期权有效期内，标的资产产生收益将使看涨期 权价格下降，而使看跌期权价格上升。 期权价格的影响因素很多，各个因素对于期权价格的影 响也很复杂。影响方向不同，影响程度不同。 因素之间的影响，既有相互补充，又有相互抵消。 看跌期权内在价值=max(K S，0) (9-0-2) 21第九章：期权定价 以上5个因素对于期权价格的影响汇集整理成表9-1。 表9-1 影响因素的变化对期权价格影响 注：增加或增大：减少或减小；？：不确定。 影响因素 欧式看涨涨 期权权 欧式看跌 期权权 美式看涨涨 期权权 美式看跌 期权权 标标的资资 产产价格 + 执执行价格 + 有效期限？+ 价格波动动 率 + 无风险风险 利 率 + 标标的资资 产产收益 + 22第九章：期权定价 为了讨论期权价格的范围，首先定义在公式推导过程中 要用到的符号如下： K：期权的执行价格； T：期权的到期时刻； 三、期权价格的上下限 太便宜了，卖家的风险得不到补偿，将无有卖家。 因此，确定出期权的合理价格是至关重要的。但确定期 权价格是复杂的，能否给出期权价格的一个合理范围呢？ 引子：期权的价格是期权买方支付给期权卖方承担风险 的补偿。太贵了将无人购买； 23第九章：期权定价 t： 现在时刻； 1、期权价格的上限 S：标的资产在t时的市场价格； ST：标的资产在T时的市场价格； C：美式看涨期权的价格； c：欧式看涨期权的价格； P：美式看跌期权的价格； p：欧式看跌期权的价格； r：t到T期间的无风险利率(连续复利)； 24第九章：期权定价 命题9-1-1：美式和欧式的看涨期权价格小于或等于标的 资产的市场价格S，即： 1) 看涨期权价格的上限 说明：由期权收益的损益图可知，美式看涨期权多头的 收益是市场价与协议价及期权费之差，即：SKC。 如果CS，即使K为0多头的收益也为负值，购买期权将 失去意义。类似的讨论欧式期权的情况。 2) 看跌期权价格的上限 C S，cS 25第九章：期权定价 命题9-1-2：美式看跌期权的价格小于或等于协议价，即 2、期权价格的下限 P K 欧式看跌期权价格 p小于或等于协议价格 K 的现值，即: p Ker(Tt) 说明：由看跌期权的损益图，美式看跌期权可以随时交 割，期权多头的收益是KSP，如果PK，即使S=0也将无 有收益，购买期权投资将失去意义。 欧式期权只能在期权到期才能交割，购买期权的初始时 刻的现值为Ker(Tt) 。欧式期权比美式期权的上限更精确。 班长电话，证券投资实训中的用户名，确认。 26第九章：期权定价 确定期权价格的下限较为复杂，可区分无收益与有收益 标的资产两种情况。 1) 欧式看涨期权价格的下限 命题9-1-3： 无收益资产欧式看涨期权价格c的下限满足 如下不等式： c max(SKer(Tt) ，0） (9-1) 证明：为了给出证明，构造如下两个组合： (1) 无收益资产欧式看涨期权价格的下限 ) 结论 27第九章：期权定价 组合B：一单位标的资产。 在组合A中，将现金Ker(Tt)按无风险利率投资，在T 时 刻的终值为 K ； 到期时，多头是否执行看涨期权，取决于T时刻标的资 产市场价 ST 是否大于 K 。 若 ST K ，则执行看涨期权，支付K得到ST，组合 A的价 值为 ST ； 若 ST K ，则不执行看涨期权，组合A的价值为K 。因 此，在T 时刻，组合A的价值为： 组合A：以期权费c购买一份欧式看涨期权，并持有数量 为 Ker(Tt)的现金，其组合为：c+ Ker(Tt) ； . 28第九章：期权定价 【例9-3】 考虑一个不付红利股票的欧式看涨期权。 ) 举例 而组合B在T时刻价格为ST。显然A的终值大于B的终值： max(ST ， K ) ST 由无套利均衡分析，A的初值也该大于B的初值，即： c+Ker(Tt) S c SKer(Tt) 否则将出现套利的机会。由于期权的价值一定为正，故 无收益资产欧式看涨期权价格下限为： c maxSKer(Tt) ，0 (9-1) max(ST ， K ) 29第九章：期权定价 根据不等式(9-1)，该期权价格的下限为 SKer(Tt)2018e0.11 =3.71(元) 即该欧式看涨期权的下限为3.71元。 计算欧式看涨期权价格的下限 试确定该股票欧式看涨期权下限是多少？ 如果实际的期权费为3元，是否存在套利的机会？ 如果存在套利的机会，如何套利？ 解，已知：S20，K18，Tt1，r10，c=3。 此时股票价格S为20元，执行价K为18元，距到期日为1 年，无风险年利率为10。 30第九章：期权定价 欧式看涨期权的价格等于3元，小于理论上的下限3.71元 ，表明期权费被低估，故存在套利的机会。 套利的原则是：买入被低估的，卖出被高估的。 套利策略 由于是看涨期权，故套利者采用卖空的套利策略： 套利者卖空股票，即借入1支股票卖掉，得款20元； 、取3元购买看涨期权，期限一年； 、 将剩下17元以年利率l0投资1年，一年后将变为 套利机会的判断 31第九章：期权定价 FV= 17e0.11 18.79(元) 投资效果分析 、股价上涨，大于18元 在期权到期时，如果股票价格高于18元，这时投资者执 行期权，用18元买入1支股票平仓，投资者每支股票盈利为： 18.7918=0.79(元) 、股价下跌，跌至16元 如果股票价格ST下跌到16元，则套利者将不执行期权， 从市场上用16元的价格购买股票平仓，此时套利者可获得的 利润为： 18.79162.79(元) 32第九章：期权定价 无收益看涨欧式期权现金流量图 20 卖空 1支 股票 买入看涨期权3 元；存入银行17元 17e0.11 18.79 ST18 18 交割：按18元买入一股股票平仓 结余：0.79 ST K ，那么看跌期权将不执行，组合 A 的价值 为ST ，即在 T时刻组合A的价值为： max(ST ， K )。 36第九章：期权定价 【例9-4】不付红利的股票的欧式看跌期权， 股票的市 价 S 为 37 元，协议价格K 为40元，距到期日还有 6个月，无 风险利率 为 5%。 试问： 试确定该股票欧式看跌期权下限是多少？ 如果实际的期权费为1元，是否存在套利的机会？ 如果存在套利的机会，如何套利？ 解：已知S=37 元， K =40 元， Tt=0.5 年， r = 5%。 ) 举例 p max(Ker(Tt) S，0) 37第九章：期权定价 根据不等式(9-2)，该期权价格的下限为 Ker(Tt) S= 40e0.10.5 37=2.01(元) 即该欧式看跌期权的下限为2.01元。 计算欧式看跌期权价格的下限 欧式看跌期权的价格为1元，小于理论价格的下限2.01元 ，表明期权费被低估，故存在套利的机会。 套利机会的判断 套利策略 38第九章：期权定价 、在38元中，用1元作为期权费，买入到期以40元卖 出股票的看跌期权，期限0.5年； 、 将剩下37元购买一股股票。 投资效果分析 由于是看跌期权，故套利者采用买空的套利策略： 、按无风险利率 5% 借入38元，期限 0.5 年，到期时 需支付银行： FV= 38e0.050.5 38.96(元) 套利的原则是：买入被低估的，卖出被高估的。 39第九章：期权定价 如果股票价格ST跌破协议价40元，则套利者将执行期权 ，将手中的股票以40元卖出，用其中38.96元偿还银行本金利 息平仓，此时套利者可获得的利润为： 4038.961.04(元) 、股价上涨到42元 在期权到期时，股票价格达到42元高于协议价40元，这 时投资者将不执行期权，在股票市场上以每股42元的价格卖 出手中的股票，偿还银行借款，投资者每支股票盈利为： 4238.96=3.04(元) 、股价下跌，低于40元 40第九章：期权定价 看跌欧式期权现金流量图 38.96=38e0.050.5 买入看跌期权1元 买入股票一股37元 1+37 38.96 38.96 结余：42 38.96=3.04 结余：40 38.96=1.04 40 ST 40 交割：卖出一股股票得到40元 不交割：在现货市场卖出股票得42元 42 ST40 38 银行 借款 41第九章：期权定价 证明：有收益资产与无收益资产的证明思路相同，只要 将无收益时的组合B的现金改为I+Ker(Tt) ，就可得出有收益 资产欧式看涨期权价格公式(9-2-1，记序号，195页)。 美式期权与欧式期权最大的区别是，美式期权是可以提 前执行的，现在的问题是，美式期权提前执行有利吗？ (2) 有收益资产欧式看跌期权价格的下限 命题9-1-6： 假设标的资产在期权期限内取得固定收益I ，则标的资产欧式看跌期权价格p的下限满足如下不等式： p max(I+Ker(Tt) S ，0） (9-2-1) 42第九章：期权定价 命题9-1-7：无收益资产美式看涨期权提前执行是不明智 的，故对于无收益看涨期权，美式期权与欧式期权等价，由 (9-1)式，美式期权价格下限亦满足： 四、美式期权提前执行的合理性 或者，美式期权在什么状态下，提前执行有利呢？ CmaxSKer(Tt)，0 (9-2-2) 1、无收益资产美式期权提前执行的合理性 1) 看涨期权 43第九章：期权定价 对于看涨期权，未来的趋势是上涨的，加之美式期权的 时间价值总是正的，因此提前执行无收益资产的美式看涨期 权是不明智的。 既然美式看涨期权不会提前执行，则与欧式期权没有差 异，二者的价值相同。 根据无收益资产欧式看涨期权的下限(9-1)式，可以得到 无收益资产美式看涨期权价格下限同样为： CmaxSKer(Tt)，0 证明：无收益资产(如不付息债券)，提前执行期权持有 标的资产将没有收益； 44第九章：期权定价 命题9-1-8：无收益资产美式看跌期权是否提前执行，取 决于期权的实值 (KS)、无风险利率水平等因素。 在期权的存续期，如果出现S相对于K来说较低，或者r 较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的 。 因此，美式看跌期权价格严格的下限满足(195页，记)： P K S (9-2-3) 举例说明：看跌期权是以执行价卖出标的资产。假定执 行价格K为1