2018届高考数学第七章平面解析几何54抛物线试题理.DOC

考点测试54抛物线一、基础小题1已知抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A. B4 C. D5答案D解析由题意知，抛物线的准线方程为y1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48答案C解析如图，设抛物线方程为y22px(p0)当x时，|y|p，p6.又P到AB的距离始终为p，SABP12636.3已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或C.或 D.答案B解析焦点坐标为，当斜率不存在时，弦长为2p6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k，所以方程为yk，代入y26x，得k2x2(3k26)xk20，设弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，x1x2p12，即312，k21.ktan1，结合x0，)，可得或.4已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.5抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)若点F恰为ABC的重心，则直线BC的方程为()Axy0 Bxy0C2xy10 D2xy10答案C解析点A在抛物线上，42p，p2.抛物线方程为y24x，焦点F(1,0)设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y4x1，y4x2，由，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，得kBC.又0，y1y22.kBC2.又1，x1x22.BC中点为(1，1)，则BC所在直线方程为y12(x1)，即2xy10.6若抛物线y22x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线yxb对称，且y1y21，则实数b的值为()A B. C. D答案A解析直线AB的斜率为kAB1，所以y1y22，yy(y1y2)22y1y26.线段AB的中点为，代入yxb，得b.故选A.7已知动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_答案y24x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.8已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|MN|，则NMF_.答案解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PNNF，PNMN，NMFMNP.又cosMNP，MNP，即NMF.二、高考小题92015浙江高考如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B.C. D.答案A解析过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|AF|1，|BN|BF|1.可知，故选A.102016全国卷以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8答案B解析不妨设C：y22px(p0)，A(x1,2)，则x1，由题意可知|OA|OD|，得2825，解得p4.故选B.112016四川高考设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D1答案C解析设P(x，y)，|PM|2|MF|，2，又F，kOM，由题易知kOM最大时y0，kOM，当且仅当xp时取等号122016浙江高考若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_答案9解析设M(x0，y0)，由抛物线方程知焦点F(1,0)根据抛物线的定义得|MF|x0110，x09，即点M到y轴的距离为9.132016天津高考设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_答案解析由已知得抛物线的方程为y22px(p0)，则|FC|3p，|AF|AB|p，则A(p，p)(不妨设A在第一象限)易证EFCEAB，所以2，所以，所以SACESAFCppp23，所以p.三、模拟小题142017沈阳监测抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0，a) B(a,0) C. D.答案C解析将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为，所以选C.152017豫南九校联考已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|PQ|的最小值为()A7 B8 C9 D10答案C解析抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值为9.故选C.162016广东广州模拟如果P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|()An10 Bn20 C2n10 D2n20答案A解析由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1,0)，准线为x1，由抛物线的定义可知|P1F|x11，|P2F|x21，|PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.故选A.172016江西南昌一模已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|3|FQ|，则|QF|()A. B. C3 D2答案A解析设l与x轴的交点为M，如图所示，过Q作QNl，垂足为N，则PQNPFM，所以，因为|MF|4，所以|NQ|，故|QF|QN|，故选A.182016湖南岳阳二模直线3x4y40与抛物线x24y、圆x2(y1)21从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为_答案16解析如图所示，抛物线x24y的焦点为F(0,1)，直线3x4y40过点(0,1)，由得4y217y40，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y2，y1y21，解得y1，y24，则16.一、高考大题12016江苏高考如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x，得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p0)的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点，且以AB为直径的圆M与直线y1相切于点N.(1)求C的方程；(2)若圆M与直线x相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1y2p.又以AB为直径的圆M与直线y1相切，|AB|y1y22，故p2，抛物线C的方程为x24y.(2)设直线l的方程为ykx1，代入x24y并整理，得x24kx40.x1x24k，x1x24，y1y2k(x1x2)24k22，圆心M的坐标为M(2k,2k21)圆M与直线x相切于点Q，|MQ|MN|，|2k22|，解得k.此时直线l的方程为yx1，即x2y20.圆心M，半径r，即圆M的方程为(x1)22.42017江西师大附中质检已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F(1,0)，其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设，求BDK的内切圆M的方程解(1)证明：由题可知K(1,0)，抛物线的方程为y24x，则可设直线l的方程为xmy1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，由得y24my40，(4m)2440，得m21，y1y24m，y1y24，则直线BD的方程为yy2(xx2)，即yy2.令y0，得x1，点F(1,0)，在直线BD上(2)由(1)可知x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1.又(x11，y1)，(x21，y2)故(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)584m2，则84m2，m，故直线l的方程为3x4y30或3x4y30，y2y1，故直线BD的方程为3xy30或3xy30.又KF为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(1t0)的焦点为F(0,1)，取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1QP2Q.(1)求抛物线C和圆Q的方程；(2)过点F作直线l，与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN|AB|的最小值解(1)因为抛物线C：x22py(p0)的焦点为F(0,1)，所以1，解得p2，所以抛物线C的方程为x24y.由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：x2(yb)2r2.P1QP2Q，P1QP2是等腰直角三角形，不妨设P1在左侧，则QP1P245，P2，代入抛物线方程有4b2r.由题意，可知在P1，P2处圆和抛物线相切，对抛物线方程x24y求导得y，所以抛物线在点P2处切线的斜率为k.由QP1P245，得k1，所以r2，代入4b2r，解得b3.所以圆Q的方程为x2(y3)28.(2)由题意，知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为ykx1.圆心Q(0,3)到直线l的距离为d，|AB|24.由得y2(24k2)y10.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y24k22，由抛物线定义知，|MN|y1y224(1k2)，所以|MN|AB|16(1k2) .设t1k2(t1)，则|MN|AB|16t1616(t1)，所以当t1，即k0时，|MN|AB|有最小值16.62017广东适应考试已知抛物线C：y24x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别记为M1，M2.(1)求FM1M2面积的最小值；(2)求线段M1M2的中点P满足的方程解(1)由题意，得抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线P1P2的方程为yk(x1)，k0.联立消去y并整理，得k2x22(2k2)xk20.(*)(*)是关