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文档简介

考点测试54抛物线一、基础小题1已知抛物线x24y上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为()A. B4 C. D5答案D解析由题意知,抛物线的准线方程为y1,所以由抛物线的定义知,点A到抛物线焦点的距离为5.2已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48答案C解析如图,设抛物线方程为y22px(p0)当x时,|y|p,p6.又P到AB的距离始终为p,SABP12636.3已知过抛物线y26x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或C.或 D.答案B解析焦点坐标为,当斜率不存在时,弦长为2p6,不符合题意,故此弦所在直线斜率存在设为k,所以方程为yk,代入y26x,得k2x2(3k26)xk20,设弦的两端点为(x1,y1),(x2,y2),x1x2p12,即312,k21.ktan1,结合x0,),可得或.4已知P是抛物线y24x上一动点,则点P到直线l:2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1答案D解析由题意知,抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d|PF|的最小值为,所以d|PF|1的最小值为1.5抛物线y22px的焦点为F,点A、B、C在此抛物线上,点A坐标为(1,2)若点F恰为ABC的重心,则直线BC的方程为()Axy0 Bxy0C2xy10 D2xy10答案C解析点A在抛物线上,42p,p2.抛物线方程为y24x,焦点F(1,0)设点B(x1,y1),点C(x2,y2),则有y4x1,y4x2,由,得(y1y2)(y1y2)4(x1x2),得kBC.又0,y1y22.kBC2.又1,x1x22.BC中点为(1,1),则BC所在直线方程为y12(x1),即2xy10.6若抛物线y22x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线yxb对称,且y1y21,则实数b的值为()A B. C. D答案A解析直线AB的斜率为kAB1,所以y1y22,yy(y1y2)22y1y26.线段AB的中点为,代入yxb,得b.故选A.7已知动圆过点(1,0),且与直线x1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为_答案y24x解析设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.8已知抛物线y24x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|MN|,则NMF_.答案解析过N作准线的垂线,垂足是P,则有PNNF,PNMN,NMFMNP.又cosMNP,MNP,即NMF.二、高考小题92015浙江高考如图,设抛物线y24x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A. B.C. D.答案A解析过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|AF|1,|BN|BF|1.可知,故选A.102016全国卷以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点已知|AB|4,|DE|2,则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8答案B解析不妨设C:y22px(p0),A(x1,2),则x1,由题意可知|OA|OD|,得2825,解得p4.故选B.112016四川高考设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D1答案C解析设P(x,y),|PM|2|MF|,2,又F,kOM,由题易知kOM最大时y0,kOM,当且仅当xp时取等号122016浙江高考若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_答案9解析设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0)根据抛物线的定义得|MF|x0110,x09,即点M到y轴的距离为9.132016天津高考设抛物线(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值为_答案解析由已知得抛物线的方程为y22px(p0),则|FC|3p,|AF|AB|p,则A(p,p)(不妨设A在第一象限)易证EFCEAB,所以2,所以,所以SACESAFCppp23,所以p.三、模拟小题142017沈阳监测抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0,a) B(a,0) C. D.答案C解析将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0),所以焦点坐标为,所以选C.152017豫南九校联考已知点P是抛物线x24y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是(8,7),则|PA|PQ|的最小值为()A7 B8 C9 D10答案C解析抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y1,根据抛物线的定义知,|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.当且仅当A、P、F三点共线时,等号成立,则|PA|PQ|的最小值为9.故选C.162016广东广州模拟如果P1,P2,Pn是抛物线C:y24x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,xn,F是抛物线C的焦点,若x1x2xn10,则|P1F|P2F|PnF|()An10 Bn20 C2n10 D2n20答案A解析由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1,0),准线为x1,由抛物线的定义可知|P1F|x11,|P2F|x21,|PnF|xn1,所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.故选A.172016江西南昌一模已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若|FP|3|FQ|,则|QF|()A. B. C3 D2答案A解析设l与x轴的交点为M,如图所示,过Q作QNl,垂足为N,则PQNPFM,所以,因为|MF|4,所以|NQ|,故|QF|QN|,故选A.182016湖南岳阳二模直线3x4y40与抛物线x24y、圆x2(y1)21从左至右的交点依次为A,B,C,D,则的值为_答案16解析如图所示,抛物线x24y的焦点为F(0,1),直线3x4y40过点(0,1),由得4y217y40,设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1y2,y1y21,解得y1,y24,则16.一、高考大题12016江苏高考如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:xy20,抛物线C:y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2p,p);求p的取值范围解(1)抛物线C:y22px(p0)的焦点为,由点在直线l:xy20上,得020,即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0)因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1,则可设其方程为yxb.证明:由消去x,得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2,从而(2p)24(2pb)0,化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p,从而y0p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x02p.因此,线段PQ的中点坐标为(2p,p)因为M(2p,p)在直线yxb上,所以p(2p)b,即b22p.由知p2b0,于是p2(22p)0,所以p0)的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A,B两点,且以AB为直径的圆M与直线y1相切于点N.(1)求C的方程;(2)若圆M与直线x相切于点Q,求直线l的方程和圆M的方程解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|y1y2p.又以AB为直径的圆M与直线y1相切,|AB|y1y22,故p2,抛物线C的方程为x24y.(2)设直线l的方程为ykx1,代入x24y并整理,得x24kx40.x1x24k,x1x24,y1y2k(x1x2)24k22,圆心M的坐标为M(2k,2k21)圆M与直线x相切于点Q,|MQ|MN|,|2k22|,解得k.此时直线l的方程为yx1,即x2y20.圆心M,半径r,即圆M的方程为(x1)22.42017江西师大附中质检已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F(1,0),其准线与x轴的交点为K,过点K的直线l与C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)证明:点F在直线BD上;(2)设,求BDK的内切圆M的方程解(1)证明:由题可知K(1,0),抛物线的方程为y24x,则可设直线l的方程为xmy1,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,y1),由得y24my40,(4m)2440,得m21,y1y24m,y1y24,则直线BD的方程为yy2(xx2),即yy2.令y0,得x1,点F(1,0),在直线BD上(2)由(1)可知x1x2(my11)(my21)4m22,x1x2(my11)(my21)1.又(x11,y1),(x21,y2)故(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)584m2,则84m2,m,故直线l的方程为3x4y30或3x4y30,y2y1,故直线BD的方程为3xy30或3xy30.又KF为BKD的平分线,故可设圆心M(t,0)(1t0)的焦点为F(0,1),取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1,P2,过P1,P2作圆心为Q的圆,使抛物线上其余点均在圆外,且P1QP2Q.(1)求抛物线C和圆Q的方程;(2)过点F作直线l,与抛物线C和圆Q依次交于M,A,B,N,求|MN|AB|的最小值解(1)因为抛物线C:x22py(p0)的焦点为F(0,1),所以1,解得p2,所以抛物线C的方程为x24y.由抛物线和圆的对称性,可设圆Q:x2(yb)2r2.P1QP2Q,P1QP2是等腰直角三角形,不妨设P1在左侧,则QP1P245,P2,代入抛物线方程有4b2r.由题意,可知在P1,P2处圆和抛物线相切,对抛物线方程x24y求导得y,所以抛物线在点P2处切线的斜率为k.由QP1P245,得k1,所以r2,代入4b2r,解得b3.所以圆Q的方程为x2(y3)28.(2)由题意,知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为ykx1.圆心Q(0,3)到直线l的距离为d,|AB|24.由得y2(24k2)y10.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y24k22,由抛物线定义知,|MN|y1y224(1k2),所以|MN|AB|16(1k2) .设t1k2(t1),则|MN|AB|16t1616(t1),所以当t1,即k0时,|MN|AB|有最小值16.62017广东适应考试已知抛物线C:y24x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线,分别交抛物线C于点P1,P2和点P3,P4,线段P1P2,P3P4的中点分别记为M1,M2.(1)求FM1M2面积的最小值;(2)求线段M1M2的中点P满足的方程解(1)由题意,得抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线P1P2的方程为yk(x1),k0.联立消去y并整理,得k2x22(2k2)xk20.(*)(*)是关

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