2018届高三数学复习立体几何第六节立体几何中的向量方法夯基提能作业本理.docx

第六节立体几何中的向量方法A组基础题组1.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:ACB1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的动点(不包括端点),PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.(1)求证:平面PBQ平面PAD;(2)若M为棱PC的中点,求异面直线AP与BM所成角的余弦值.3.(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=54,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置,OD=10.(1)证明:DH平面ABCD;(2)求二面角B-DA-C的正弦值.B组提升题组4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC平面ABCD,且PAAC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BCAD,ABAD,AB=BC=1.点E,F分别为侧棱PB,PC上的点,且PEPB=PFPC=(0).(1)求证:EF平面PAD;(2)当=12时,求异面直线BF与CD所成角的余弦值;(3)是否存在实数,使得平面AFD平面PCD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.5.(2016天津,17,13分)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=23HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AB=t,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).因为ACBD,所以=-t2+3+0=0,解得t=3或t=-3(舍去).于是=(-3,3,-3),=(3,1,0).因为=-3+3+0=0,所以,即ACB1D.(2)由(1)知,=(0,3,3),=(3,1,0),=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,则即3x+y=0,3y+3z=0,令x=1,则n=(1,-3,3).设直线B1C1与平面ACD1所成角为,则sin =|cos|=37=217.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为217.2.解析(1)证明:因为ADBC,BC=12AD,Q为AD的中点,所以BCDQ,所以四边形BCDQ为平行四边形.所以CDBQ.因为ADC=90,所以AQB=90,即BQAD.又因为平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,BQ平面ABCD,所以BQ平面PAD.因为BQ平面PBQ,所以平面PBQ平面PAD.(2)因为PA=PD,Q为AD的中点,所以PQAD.因为平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,所以PQ平面ABCD.如图,以Q为原点,QA,QB,QP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Q-xyz,则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(-1,3,0).因为M是PC的中点,所以M-12,32,32,所以=(-1,0,3),=-12,-32,32.设异面直线AP与BM所成角为,则cos =|cos|=277,所以异面直线AP与BM所成角的余弦值为277.3.解析(1)由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.因此EFHD,从而EFDH.(2分)由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4.由EFAC得OHDO=AEAD=14.所以OH=1,DH=DH=3.于是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHOH.(4分)又DHEF,而OHEF=H,所以DH平面ABCD.(5分)(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).(6分)设m=(x1,y1,z1)是平面ABD的法向量,则即3x1-4y1=0,3x1+y1+3z1=0,所以可取m=(4,3,-5).(8分)设n=(x2,y2,z2)是平面ACD的法向量,则即6x2=0,3x2+y2+3z2=0,所以可取n=(0,-3,1).(10分)于是cos=m路n|m|n|=-7525.sin=29525.因此二面角B-DA-C的正弦值是29525.(12分)B组提升题组4.解析(1)证明:因为PEPB=PFPC=(0),所以EFBC.因为BCAD,所以EFAD.而EF平面PAD,AD平面PAD,所以EF平面PAD.(2)因为平面ABCD平面PAC,平面ABCD平面PAC=AC,且PAAC,所以PA平面ABCD.则PAAB,PAAD.又ABAD,故PA,AB,AD两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).当=12时,F为PC的中点,故F12,12,1,=-12,12,1,又=(-1,1,0),设异面直线BF与CD所成的角为,则cos =|cos|=12+1214+14+1脳2=33,故异面直线BF与CD所成角的余弦值为33.(3)存在.设F(x0,y0,z0),则=(x0,y0,z0-2),又=(1,1,-2),则由=,得(x0,y0,z0-2)=(1,1,-2),所以则=(,2-2).设平面AFD的法向量为n1=(x1,y1,z1),因为=(,2-2),=(0,2,0),所以令z1=,得n1=(2-2,0,).设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2),因为=(0,2,-2),=(-1,1,0),所以令x2=1,得n2=(1,1,1).若平面AFD平面PCD,则n1n2=0,所以(2-2)+=0,解得=23.所以当=23时,平面AFD平面PCD.5.解析依题意,OF平面ABCD,如图,以O为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)证明:依题意,=(2,0,0),=(1,-1,2).设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,则即2x=0,x-y+2z=0.不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又=(0,1,-2),可得n1=0,又因为直线EG平面ADF,所以EG平面ADF.(2)易证=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,=(1,1,0),=(-1,1,2).设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量,则即x+y=0,-x+y+2z=0.不妨设x=1,可得