高中数学第一章推理与证明1.1.1归纳推理学业分层测评北师大版选修.docx

1.1.1 归纳推理(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.数列5，9，17，33，x，中的x等于()A.47B.65C.63D.128【解析】5221，9231，17241，33251，归纳可得：x26165.【答案】B2.观察下列各式：7249，73343，742 401，则72 016的末两位数字为() A.01B.43C.07D.49【解析】7516 807，76117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 01674504，故其末两位数字为01.【答案】A3.已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，且a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an()A.B.C.D.【解析】可以通过Snn2an(n2)分别代入n2，3，4，求得a2，a3，a4，猜想an.【答案】B4.我们把1，4，9，16，25，这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图116).图116则第n个正方形数是()A.n(n1)B.n(n1)C.n2D.(n1)2【解析】观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.【答案】C5.如图117所示，着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项，则这个数列的一个通项公式为()图117A.an3n1B.an3nC.an3n2nD.an3n12n3【解析】a11，a23，a39，a427，猜想an3n1.【答案】A二、填空题6.设f(x)，x11，xnf(xn1)(n2)，则x2，x3，x4分别为_，猜想xn_.【解析】x2f(x1)，x3f(x2)，x4f(x3)，xn.【答案】，7.根据给出的数塔，猜测123 45697等于_.19211，1293111，123941 111，1 2349511 111，12 34596111 111.【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456971 111 111.【答案】1 111 1118.如图118所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN)个点，每个图形总的点数记为an，则a6_，an_.图118【解析】依据图形特点可知当n6时，三角形各边上各有6个点，因此a636315.由n2，3，4，5，6时各图形的特点归纳得an3n3(n2，nN).【答案】153n3(n2，nN)三、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn，a11，且Sn120(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式.【解】当n1时，S1a11；当n2时，2S13，S2；当n3时，2S2，S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn(nN).10.已知f(x)，分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【解】由f(x)，得f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3).归纳猜想一般性结论为f(x)f(x1).证明如下：f(x)f(x1).能力提升1.(2016西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A.n1B.2nC.D.n2n1【解析】1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；，n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域，选C.【答案】C2.(2016南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第57个数对是() A.(2，10)B.(10，2)C.(3，5)D.(5，3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).【答案】A3.如图119，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图119，如此继续下去，得图119，试用n表示出第n个图形的边数an_.图119【解析】观察图形可知，a13，a212，a348，故an是首项为3，公比为4的等比数列，故an34n1.【答案】34n14.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解】(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如