江苏高考数学复习数列推理与证明热点探究课4数列与函数不等式教师用书.docx

热点探究课(四)数列与函数、不等式命题解读数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年江苏卷试题来看，数列常作为压轴大题，综合考查学生的推理论证能力热点1数列与函数的综合应用数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，试求数列bn的前n项和Tn. 【导学号：62172210】解(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.4分又因为点(n，Sn)(nN)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S131221615，所以an6n5(nN).6分(2)由(1)得bn，9分故Tn.14分规律方法解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理对点训练1设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN)(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列anb的前n项和Sn.解(1)证明：由已知，得bn2an0.当n1时，2an1an2d，数列bn是首项为2a1，公比为2d的等比数列.4分(2)f(x)2x求导得f(x)2xln 2，f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为yb22a2ln 2(xa2)，令y0，得b2(2a2ln 2)(xa2)，xa2，a22.d211，ann，bn2n.anbn4n，8分其前n项和Sn14242343(n1)4n1n4n，两边乘4，得4Sn142243344(n1)4nn4n1，得Sn4Sn442434nn4n1n4n1，Sn.14分热点2数列与不等式的综合应用数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明(2017苏锡常镇调研一)已知首项为1的正项数列an满足aaan1an，nN.(1)若a2，a3x，a44，求x的取值范围；(2)设数列an是公比为q的等比数列，Sn为数列an前n项的和，若SnSn12Sn，nN，求q的取值范围；(3)若a1，a2，ak(k3)成等差数列，且a1a2ak120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，ak(k3)的公差. 【导学号：62172211】解(1)由题意得，4x215x90且x210x160，所以x3，42x，解得x(2,3).3分(2)由题意得，anan12an，且数列an是等比数列，a11，qn1qn2qn1，q.又SnSn12Sn，而当q1时，S22S1不满足题意.6分当q1时，2，当q时，解得q；当q(1,2)时，无解综上，q.10分(3)anan12an，且数列a1，a2，ak成等差数列，a11，1(n1)d1ndan，对nN均成立，求实数的取值范围解(1)等差数列an中，a11，S36，d1，故ann.2分由得bn2SnSn12an2n(n2)，b12S1212，满足通项公式，故bn2n.5分(2)bnan恒成立，即恒成立，7分设cn，则，当n1时，cn1cn，cn单调递减，(cn)maxc1，故，的取值范围是.14分热点3与等差(比)数列有关的综合问题(答题模板)解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”(本小题满分16分)(2017盐城模拟)已知正项数列an，bn满足：对任意nN，都有an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列，且a110，a215.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an，bn的通项公式；(3)设Sn，如果对任意nN，不等式2aSn2恒成立，求实数a的取值范围思路点拨(1)只要证明2(n2)即可(2)由(1)先求，再由abn1bn求an.(3)由求Sn，然后把参数a分离，并借助数列的性质求参数a的取值范围规范解答(1)证明：由已知，2bnanan1 ，abnbn1，由可得，an1 ，将代入得，对任意nN，n2，有2bn，即2，所以是等差数列.4分(2)设数列的公差为d，由a110，a215，得b1，b218，6分所以，3，所以d，所以(n1)d(n1)(n4)，所以bn.8分abn1bn，an.10分(3)由(2)，2，11分所以，Sn22，12分故不等式2aSn2化为4a2，即a1恒成立.15分故a1，所以，实数a的取值范围是(，1.16分答题模板第一步：由题设条件建立bn1，bn，bn1间的等量关系；第二步：借助等差中项法证明数列是等差数列；第三步：求基本量，并分别求出an，bn的通项公式；第四步：分析的特点，并求Sn；第五步：把Sn，an，bn代入2aSn0，则a2n单调递增；a2n1a2n1q2n2q2nq2n(q21)0，则a2n1单调递减；又a2na1q2n1q20，所以数列an的最小项为a2q3q2qm，则，因为q(1,0)，所以q2q1(1,3)，所以.16分热点探究训练(四)A组基础过关1(2017苏州期中)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1，a2的值；(2)求证：数列an2n是等比数列，并求数列an的通项公式解(1)由已知，得2a1a23，2(a1a2)a37，又因为a1，a25，a3成等差数列，所以a1a32a210，解，得a11，a254分(2)由已知，nN时，2(Sn1Sn)an2an12n22n1，即an23an12n1，即an13an2n(n2)，8分由(1)得，a23a12，an13an2n(nN)从而有an12n13an2n2n13an32n3(an2n)又a120，an2n0，3.数列an2n是等比数列，且公比为3.an2n(a12)3n13n，即an3n2n.14分2(2017泰州中学高三模底考试)已知数列an的前n项和Sn满足：Snt(Snan1)(t为常数，且t0，t1)(1)求an的通项公式；(2)设bnaSnan，若数列bn为等比数列，求t的值；(3)在满足条件(2)的情形下，设cn4an1，数列cn的前n项和为Tn，若不等式2n7对任意的nN恒成立，求实数k的取值范围. 【导学号：62172212】解(1)当n1时，S1t(S1a11)，得a1t.当n2时，由Snt(Snan1)，即(1t)Sntant，得(1t)Sn1tan1t，得(1t)antantan1，即antan1，t(n2)，an是等比数列，且公比是t，antn.4分(2)由(1)知，bn(tn)2tn，即bn，若数列bn为等比数列，则有bb1b3，而b12t2，b2t3(2t1)，b3t4(2t2t1)，故2(2t2)t4(2t2t1)，解得t，再将t代入bn，得bn，由，知bn为等比数列，t.8分(3)由t，知ann，cn4n1，Tn4n4n，由不等式2n7恒成立，得3k恒成立，设dn，由dn1dn，当n4时，dn1dn，当n4时，dn1dn，而d4，d5，d4d5，3k，k.14分B组能力提升1(2017南通调研一)若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”(1)已知数列an中，a12，an12an1.求数列an的通项公式；试判断数列an是否为“等比源数列”，并证明你的结论(2)已知数列an为等差数列，且a10，anZ(nN)求证：an为“等比源数列”. 【导学号：62172213】解(1)由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列所以an12n1.所以，数列an的通项公式为an2n11.4分数列an不是“等比源数列”用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列因为an2n11，所以amanak.所以aamak，得(2n11)2(2m11)(2k11)，即22nm12nm12k12km1.又mn0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项an0.为了使得an为“等比源数列”，只需要an中存在第n项，第k项(mnk)，使得aamak成立，即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立当namm，k2amamdm时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列所以，数列an为“等比源数列”.16分2(2017南京模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a5a313，S416.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tn(1)iai，若对一切正整数n，不等式Tnm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由解(1)设数列an的公差为d.因为2a5a313，S416，所以解得a11，d2，所以an2n1，Snn2.4分(2)当n为偶数时，设n2k，kN，则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k.代入不等式Tnan1(1)n1an2n1，得2k4k，从而0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min2，所以2.7分当n为奇数时，设n2k1，kN，则T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k.代入不等式Tnan1(1)n1an2n1，得(12k)4k.因为kN，所以4k