高中数学第一章导数及其应用1.6第1课时微积分基本定理学案新人教A版.docx

1.6 第一课时 微积分基本定理一、课前准备1.课时目标1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义；2.能够运用微积分基本定理计算简单的定积分；3.能解决简单的含参数积分问题。2.基础预探1如果f(x)是区间a，b上的_，并且F(x)_，那么f(x)dx_.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_.2. 微积分基本定理的符号表示f(x)dxF(x)| _.3.常见求定积分的公式（1）；（2）（c为常数）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）。二、学习引领1.微积分基本定理需注意的问题(1)在微积分基本定理中，F(x)f(x)，且f(x)在a，b上连续可积，则F(x)称为f(x)的一个原函数(2)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与原函数之间的逆运算关系，为定积分的计算提供了一个简单有效的方法转化为计算其原函数在积分区间上的增量(3)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F(x)f(x)的原函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出F(x)(4)根据导数知识，连续函数f(x)的原函数F(x)不唯一，这是由于F(x)Cf(x)，所以F(x)C也是函数f(x)的原函数，其中C为常数求定积分可以选取任意一个原函数，由于f(x)dxF(x)C|F(b)CF(a)CF(b)F(a)，显然常数C对定积分的求解没有影响2.计算简单定积分的步骤把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；分别用求导公式找到F(x)，使得F (x)=f(x);利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；计算所求定积分的值.3.求分段函数的定积分分段函数在区间a,b上的积分可分成几段积分和的形式；分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况，逐段求积分后，再得到整个式子的积分。三、典例导析题型一 计算定积分例1 计算下列定积分： (1)2xdx； (2)(x22x)dx； (3) dx； (4)dx.思路导析：先利用定积分的性质将其分解成各简单函数的定积分，若不易寻找被积函数的原函数时应先将被积函数变形后再计算，再利用微积分基本定理求解解析:(1)2xdxx225025.(2)(x22x)dxx2dx2xdxx3x21.(3)=1-1=0.(4)dxdx3ln2.归纳总结：求定积分首先根据导数公式找到F(x)，使F(x)f(x)，然后根据微积分基本定理求值。对于复杂的被积函数求定积分的问题，可以运用定积分性质分解为简单函数的定积分和差的形式，再求解变式训练：计算下列定积分：(1) 5x4dx； (2)(1xx2)dx； (3)(42x)(4x2)dx；(4) |sinx|dx_题型二 分段函数的定积分例2求函数在区间上的积分.思路导析：要求f(x)在0，5上的定积分，可按照f(x)的分段标准，分成0，1，三段的定积分的和，再分别求值。 解析：（1）由定积分性质知归纳总结：要求分段函数的积分，一般按照分段函数定义域的取值，分段建立多个积分求和得到。变式训练：求的值.题型三 含参数的定积分问题例3已知，求函数的最小值.思路导析：这里函数、都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与，再结合函数的性质求得的最小值.解析：.当时，最小=1；当时，最小=1.归纳总结：此题综合考查了积分上限函数、二次函数最值，难度较大，重点是要分清各变量之间的关系，逐步解决。 变式训练： 设f(x)|x2a2|dx.(1)当0a1与a1时，分别求f(a)；(2)当a0时，求f(a)的最小值四、随堂练习1.x2dx等于()A0B. C.x2 D2x2与定积分dx相等的是()A. B. C| D以上都不对3设f(x)，则f(x)dx等于()A. B. C. D不存在4(ex)dx_.5.已知f(x)3x22x1，若 f(x)dx2f(a)成立，则a_.6.计算以下定积分：求下列定积分：(1)dx；(2)(cos xex)dx.五、课后作业1.若 (2x3x2)dx0，则k等于()A0 B1 C0或1 D以上均不对2.设f(x)则,dx等于()A. B C D不存在,3已知函数f(a)sin xdx，则f =_4已知f(x)(2t4)dt，则当x1,3时，f(x)的最小值为_5. (1) (2x2)dx；(2)()2dx；(3)(sinxsin2x)dx；6.(1)已知f(a)(2ax2a2x)dx，求f(a)的最大值；(2)已知f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2，求a，b，c的值参考答案1.6 第一课时 微积分基本定理一、课前准备2.基础预探1.连续函数 f(x) F(b)F(a) 牛顿莱布尼兹公式2.F(b)F(a)3. 三、典例导析例1 变式训练解:(1)(x5)5x4， 5x4dxx5|1052599968.(2)(1xx2)dxdxxdxx2dxx|x2|x3|(31)(3212)(3313).(3) .(42x)(4x2)dx(168x4x22x3)dx32168.(4) |sinx|dx（-sinx）dx=cosx.=1.例2 变式训练解析：由于， 例3 变式训练解析：(1)0a1时，f(a)|x2a2|dx(a2x2)dx(x2a2)dx(a2xx3)(a2x)a3a300a2a3a3a2。当a1时，f(a)(a2x2)dx(a2xx3)a2.f(a)(2)当a1时，由于a2在时，f(a)4a22a2a(2a1)，由f(a)0知：a或a0，故在上递减，在，1上递增因此在上，f(a)的最小值为f().综上可知，f(x)在0，)上的最小值为.四、随堂练习1.解析：x2dxx2|.答案：B2解析：|sin|.答案：B3解析: f(x)dxx2dx(2x)dx,取F1(x)x3，F2(x)2xx2，则F1(x)x2，F2(x)2xf(x)dxF1(1)F1(0)F2(2)F2(1)02222. 故应选C.答案：C4解析：原式exdxdxex|lnx|e2eln 2.答案：e2eln25.解析: 由已知F(x)x3x2x，F(1)3，F(1)1，f(x)dxF(1)F(1)4，2f(a)4，f(a)2. 即3a22a12.解得a1或.答案:1或6.解析：(1)dxxdxx2dxdxln x|12ln 2ln 2.(2) (cos xex)dxcos xdxexdxsin x01.五、课后作业1.解析： (2x3x2)dx2xdx3x2dxx2|x3|k2k30，k0或k1.答案：C2.解析:作出函数的图像，如图，答案：C3解析： fsin xdxcos x1，f f(1)sin xdxcos x1cos 1.答案：1cos 14解析：f(x)(2t4)dt(t24t)x24x(x2)24(1x3)，当x2时，f(x)min4.答案：45.解：(1) (2x2)dx(x3lnx)ln 2ln 2.(2)()2dx(x2)dx(x2lnx2x)(ln 36)(2ln 24)ln.(3) (sinxsin2x)dx(cosxcos2x)()(1).6.解析:(1)取F(x)a