数列的通项与求和经典教案.doc

数列等差数列等比数列定义数列an的后一项与前一项的差anan1为常数d数列an的后一项与前一项的比为常数q（q0）专有名词d为公差q为公比通项公式an=a1+（n1）dan=a1qn1前n项和Sn=Sn=通项公式一、 利用公式求通项公式已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差或公比代入公式即可求出通项例1 等差数列的前项和记为，已知，求通项解： ， ，得代入，得例3等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.解：设数列公差为成等比数列，即， 由得：，二、 由的前项和与间的关系，求通项利用 此处应注意并非对所有的都成立，而只对当且为正整数时成立，因此由求时必须分和两种情况进行讨论例1 设数列的前项和，求数列的通项公式解：当时，；当时，此式对也适用例2 （1） ； .求数列的通项公式【解析】当时，当时，.而时，.当时，当时，.而时，.（3）.已知为数列的前项和，求数列的通项公式 （4）已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式.（5）已知数列的前项和满足求数列的通项公式。（08全国卷理节选）设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式【解析】依题意，即，由此得， 点评：利用数列的前项和求数列的通项公式时，要注意是否也满足得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出三、 利用递推关系，求通项公式根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式例. 数列中，；求数列的通项公式1. 叠加法例1：数列中，求数列的通项公式解：因为，所以，将上面个式子叠加，得，所以【例2】已知数列中，求数列的通项公式；2. 叠乘法例1. （1） 数列中，求数列的通项公式解：由，变形为，将上面的式子叠乘，得（2）、已知数列中，求数列的通项公式.【解析】由得，.（3） .已知数列中，,求数列的通项公式.（4）已知数列满足，求。【反思归纳】迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如“；迭加法、迭乘法公式： .3. 构造等比数列求通项（构造法）【例1】已知数列中，求数列的通项公式.【解析】，是以为公比的等比数列，其首项为例2设数列：，求(2006.重庆.14）在数列中，若，则该数列的通项 【例3】已知数列中，求数列的通项公式.【解析】，令则 ， 【反思归纳】递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：令； 在中令，；由得，.4.倒数法例1. 数列中，则的通项 .【解析】 由，得例2：，求数列的通项公式.数列求和1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.等差数列求和公式：等比数列求和公式：例1. 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.求数列bn的通项bn； 2、倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例1、 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得： 所以.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.例2、求值：3、错位相减法：类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 则 两式相减并整理即得【例1】 求数列1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前n项的和解 设Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0时，Sn=1(3)当x0且x1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn， -，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn例2、（2008年全国第19题第（2）小题，满分6分）已知 ，求数列an的前n项和Sn.解： 得4.裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：（1），特别地当时，（2），特别地当时（3）【1】 注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。 在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。5、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例1、求和：解：小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.例：求和：巩固练习题：1 等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.2 已知数列满足，求3. 4 . (2004全国卷I.15)已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，求an的通项.5. 的前n项和为_6. 2数列an、bn都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，则数列前10项的和等于 ( )A100B85C70D557.=_8. 数列的通项公式为，求它的前n项和9. 已知，求。1