高中数学第二章推理与证明2.2第3课时反证法学案新人教A版.docx

2.2 第三课时反证法一、课前准备1课时目标（1）. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；（2）. 了解反证法的思考过程、特点;(3). 会用反证法证明问题.2基础预探(1)反证法.假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法 (2)反证法常见矛盾类型.在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与矛盾，与 、 、 或矛盾，与 矛盾（3）应用反证法的原则： ，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法（4）方法实质：反证法是利用 的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同 ，通过证明一个命题的 命题的正确，从而肯定原命题真实. 二、学习引领1.反证法的基本思想反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾它可以用下面的程序来表示：“否定推理矛盾肯定”“否定”假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立“推理”从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行推理“矛盾”通过推导，推出与实际“需要”不符、与“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与“题设”矛盾、自相矛盾等“肯定”由于推理过程正确故矛盾是由假设所引起的，因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的2. 反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。3 反证法解决的常见题型（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命题；（4）“惟一性”命题；（5）“必然性”命题；（6）“至少”、“至多”命题三、典例导析题型一 否定型命题例1、试证不是有理数。思路导析:要求证的结论是以否定的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。证明：假设是有理数，注意到，可设（、为互质的正整数，且），两边平方，得， 表明，是2的倍数，因为是正整数，故当是奇数时，令（），则，即是奇数，与是2的倍数矛盾。当是偶数，又可设（），代入式，整理后得，式表明，是2的倍数。这样与都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定、为互质的正整数相矛盾。因此不是有理数。规律总结: 在应用反证法证题时，必须按“反设归谬结论”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾变式练习1求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。题型二 “至少”、“至多” 型命题例2设均为实数，且，求证：中至少有一个大于0。思路导析:如果直接从条件出发推证，方向不明，思路不清，不移入手，较难，说证结论是以“至少”形式出现，因而可用反证法证明。证明：设中都不大于0，即而 ，这与矛盾，故中至少有一个大于0规律总结:当遇到命题的结论是以“至多”“至少”等形式给出时，一般是多用反证法；应注意“至少有一个” “都是”的否定形式分别是“一个也没有” “不都是”，本题是一个自相矛盾的题目类型。变式练习2已知，求证：中，至少有一个数大于25。题型三 “唯一”性命题例3求证：两条相交直线有且只有一个交点。思路导析:此题是含有“ 有且只有一个”的命题，可考虑用反证法进行证明。证明：假设结论不成立，则有两种情况：或者没有交点，或者不只一个交点。（1） 如果直线没有交点，那么，这与已知矛盾；（2） 如果直线不只有一个交点，则至少交于点，这样经过两点就有两条直线，这与两点确定以直线矛盾。由（1）和（2）可知，假设错误，所以，两条相交直线有且只有一个交点。规律总结:此题是证明一个命题的充要条件，用反证法证明了它的否定，从而获得结论正确，也可正面证明，需证明存在性和唯一性。在证明唯一性命题时，应找出除这一个元素外的其它的所有元素，并逐一推导出矛盾，排除掉。变式练习3已知函数的图象过点问是否存在常数，使不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由题型四 肯定型命题例4设函数对定义域上任意实数都有，且成立。求证：对定义域内的任意都有。思路导析:这是一个肯定型命题，可考虑用反正发来进行证明。证明：假设满足体设条件的任意都有部成立，即存在某个有， ， ，又因为，这与假设矛盾。假设不成立，故对定义域内的任意都有。规律总结:在反设命题的结论时要注意正确写出结论的否定形式是非常重要的。在本体中对“任意都有”的否定是“存在某个有”变式练习4求证：正弦函数没有比小的正周期四、随堂练习一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A有一个解B有两个解C至少有三个解 D至少有两个解2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于603. 已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线4.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_5. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_6. 已知：abc0，abbcca0，abc0.求证：a0，b0，c0.五、课后作业1. 否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数Da、b、c中至少有两个偶数2. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a、b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个偶数D假设a，b，c至多有两个偶数3. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A甲 B乙 C丙 D丁4. 用反证法证明命题“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是_5. 用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设_设全体质数为p1、p2、pn，令pp1p2pn1.显然，p不含因数p1、p2、pn.故p要么是质数，要么含有_的质因数这表明，除质数p1、p2、pn之外，还有质数，因此原假设不成立于是，质数有无限多个6.已知a，b，c(0,1)求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.第三课时反正法答案解析一、基础预探（1）答案：不成立；假设错误；原命题成立（2）答案：已知条件；数学公理；定理；公式；定义；已被证明的结论；公认的简单事实（3）答案：正难则反（4）答案：互为逆否；真假；逆否三典例导析变式训练1. 证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则，于是。因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。所以，1，2，不可能是一个等差数列中的三项。2. 证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么，这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。3. 解：假设存在符合条件的的图象过，即又对一切实数都成立，令，则，由得据题意，对于任意实数，与都成立对于，若，则，不合题意；若，欲使的解集为，则需即解得对于，再考虑，把代入，得，其解集为所以，存在满足条件的，其中4. 证明：假设是正弦函数的周期，且，则对任意实数都有成立令，得，即，从而对任意实数都有，这与矛盾所以正弦函数没有比小的正周期四、随堂练习1. C 解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2. B 解析“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”故应选B.3. C 解析假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线故应选C.4. 没有一个是三角形或四边形或五边形 解析“至少有一个”的否定是“没有一个”5. 解析由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.6. 证明用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a0，b0，则由abc0，可得c(ab)，又ab0，c(ab)(ab)(ab)abc(ab)(ab)(ab)ab即abbcca0，ab0，b20，a2abb2(a2abb2)0，即abbcca0矛盾，所以假设不成立因此a0，b0，c0成立五、课后作业1. B 解析a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：全是奇数；有两个奇数，一个偶数；有一个奇数，两个偶数；三个偶数因为要否定，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”故应选B.2.B 解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数3. C 解析因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手故应选C.4. a，b都不能被5整除 解析“至少有一个”的否定是“都不能”5. 质数只有有限多个除p1、p2、pn之外 解析由反证法的步骤可得6. 证明证法1：假设(1a)