2016届【世纪金榜】高三文科数学热点专题突破：数列的综合应用.ppt

热点专题突破系列(三) 数列的综合应用,考点一 等差数列与等比数列的综合问题 【考情分析】等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点 (1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质. (2)重点考查基本量(即“知三求二”,解方程(组)的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.,【典例1】(2014湖北高考)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)记sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,【解题提示】(1)设an的公差为d,由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列an的通项. (2)根据数列an的通项公式表示出数列an的前n项和公式sn,令sn60n+800,解此不等式.,【规范解答】(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0, 解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2, 从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,(2)当an=2时,sn=2n. 显然2n60n+800成立. 当an=4n-2时, 令2n260n+800,即n2-30n-4000, 解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n. 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.,【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.,(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.,【变式训练】(2015石家庄模拟)已知数列an为前n项和sn=1-kan (k0,nn*). (1)用n,k表示an. (2)若数列bn对任意正整数n,均有(bn+1-bn+2)lna1+(bn+2-bn)lna3+ (bn-bn+1)lna5=0. 求证:数列bn为等差数列. (3)在(1),(2)中,设k=1,bn=n+1,xn=a1b1+a2b2+anbn,试求数列xn的 通项公式.,【解析】(1)由已知得a1=s1=1-ka1,所以a1= . 又当n2时,an=sn-sn-1=kan-1-kan, 所以 所以an是以 为首项, 为公比的等比数列, 所以,(2)由(1)令等比数列an的公比为q, 则q1,a3=a1q2,a5=a1q4代入等式化简, 所以(bn+2+bn-2bn+1)lnq=0, 因为q1,所以2bn+1=bn+2+bn, 所以数列bn为等差数列.,(3)因为k=1,所以 所以 所以 所以xn= 得 -得 所以,【加固训练】(2015南昌模拟)已知an是单调递增的等差数列, 首项a1=3,前n项和为sn,数列bn是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12, s3+b2=20. (1)求an和bn的通项公式. (2)令cn=sncos(an)(nn*),求cn的前n项和tn.,【解析】(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q, 则a2b2=(3+d)q=12, s3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12, 即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0. 因为an是单调递增的等差数列,所以d0, 所以d=3,q=2, an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.,(2)由(1)知