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3.立体几何1.如图,在三棱柱ABFDCE中,ABC120,BC2CD, ADAF, AF平面ABCD.(1)求证:BDEC;(2)若AB1,求四棱锥BADEF的体积.(1)证明已知ABFDCE为三棱柱,且AF平面ABCD,DEAF,ED平面ABCD.BD平面ABCD,EDBD,又ABCD为平行四边形,ABC120,故BCD60,又BC2CD,故BDC90,故BDCD,EDCDD,ED,CD平面ECD,BD平面ECD,EC平面ECD,故BDEC.(2)解由BC2CD得AD2AB,AB1,故AD2,作BHAD于点H,AF平面ABCD,BH平面ABCD,AFBH,又ADAFA,AD,AF平面ADEF,BH平面ADEF,又ABC120,在ABH中,BAH60,又AB1,BH,VBADEF(22).2.如图,在BCD中,BCD90,BCCD1,AB平面BCD,ADB60,E,F分别是AC,AD上的动点,且(01).(1)求证:无论为何值,总有平面BEF平面ABC;(2)是否存在实数,使得平面BEF平面ACD.(1)证明AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.CDBC,ABBCB,AB,BC平面ABC,CD平面ABC.又(01),无论为何值,恒有EFCD,EF平面ABC.又EF平面BEF,无论为何值,总有平面BEF平面ABC.(2)解假设存在,使得平面BEF平面ACD.由(1)知BEEF,平面BEF平面ACD,平面BEF平面ACDEF,BE平面BEF,BE平面ACD.又AC平面ACD,BEAC.BCCD1,BCDABD90,ADB60,BD,ABtan60,AC.由RtAEBRtABC,得AB2AEAC,AE,.故当时,平面BEF平面ACD.3.如图,在四棱锥PABCD中,PCADCDAB2,ABDC,ADCD,PC平面ABCD.(1)求证:BC平面PAC;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB交于点N,确定点N的位置,说明理由;并求三棱锥ACMN的高.(1)证明连接AC,在直角梯形ABCD中,AC2,BC2,所以AC2BC2AB2,即ACBC.又PC平面ABCD,BC平面ABCD,所以PCBC,又ACPCC,AC,PC平面PAC,故BC平面PAC.(2)解N为PB的中点,连接MN,CN.因为M为PA的中点,N为PB的中点,所以MNAB,且MNAB2.又因为ABCD,所以MNCD,所以M,N,C,D四点共面,所以N为过C,D,M三点的平面与线段PB的交点.因为BC平面PAC,N为PB的中点,所以点N到平面PAC的距离dBC.又SACMSACPACPC,所以V三棱锥NACM.由题意可知,在RtPCA中,PA2,CM,在RtPCB中,PB2,CN,所以SCMN2.设三棱锥ACMN的高为h,V三棱锥NACMV三棱锥ACMNh,解得h,故三棱锥ACMN的高为.4.(2018乐山联考)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且POOB1.(1)若D为线段AC的中点,求证:AC平面PDO;(2)求三棱锥PABC体积的最大值;(3)若BC,点E在线段PB上,求CEOE的最小值.(1)证明在AOC中,因为OAOC, D为AC的中点,所以ACOD.又PO垂直于圆O所在的平面,所以POAC.因为DOPOO,DO,PO平面PDO,所以AC平面PDO.(2)解因为点C在圆O上,所以当COAB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB2,所以ABC面积的最大值为211.又因为三棱锥PABC的高PO1,故三棱锥PABC体积的最大值为11.(3)解在POB中,POOB1,POB90,所以PB.同理PC,所以PBPCBC.在三棱锥PABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面CPB,使之与平面
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