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数学驿站 例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x是正实数,求函数的最小值。解:先估计y的下界。又当x=1时,y=5,所以y的最小值为5。说明 本题是利用“配方法”先求出y的下界,然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的,否则就不一定对了。例如,本题我们也可以这样估计:但y是取不到-7的。即-7不能作为y的最小值。例2. 求函数的最大值和最小值。解 去分母、整理得:(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.当时,这是一个关于x的二次方程,因为x、y均为实数,所以D=2(y+1)2-4(2y-1)(y+3)0, y2+3y-40,所以 -4y1又当时,y=-4;x=-2时,y=1.所以ymin=-4,ymax=1.说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。例3.求函数,x0,1的最大值解:设,则x=t2-1y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1原函数当t=时取最大值例4求函数的最小值和最大值解:令x-1=t ()则ymin=例5.已知实数x,y满足1x2+y24,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解:又当时f(x,y)=6,故f(x,y)max=6又因为又当时f(x,y)=,故f(x,y)min=例6.求函数的最大值和最小值解:原函数即令 (0t1) 则y=5t2-t+1当x=3时,函数有最小值,当x=0时,函数取最大值5例7.求函数的最大值解:设,则f(x)=由于 0a1,故f(x),又当x= (k为整数)时f(x)= ,故f(x)max=例8.求函数的最大值解:原函数即在直角坐标系中,设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1),则f(x)=|PA|-|PB|AB|=又当时,f(x)= 故f max (x) = 例9.设a是实数,求二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m,当0a2-4a-210中变动时,求m的最大值解:y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a由0a2-4a-210解得:或a6故当a=6时,m取最大值18例10.已知函数f(x)=log2(x+1),并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点在y=g(x)的图象上运动,求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。解 因为点(x,y)在y=f(x)的图象上,所以y=log2(x+1)。点在y=g(x)的图象上,所以故令, 则 当,即时,所以从而 。例11.已知函数的最小值是2,最大值是6,求实数a、b的值。解:将原函数去分母,并整理得(a-y)x2+bx+(6-2y)=0.若y=a,即y是常数,就不可能有最小值2和最大值6了,所以y a。于是D=b2-4(a-y)(6-2y)0,所以y2-(a+3)y+3a-0.由题设,y的最小值为2,最大值为6,所以(y-2)(y-6)0, 即 y2-8y+120.由(1)、(2)得 解得:例12.求函数 的最小值和最大值。解 先求定义域。由 最6x8.当x6,8,且x增加时,增大,而减小,于是f(x)是随着x的增加而减小,即f(x)在区间6,8上是减函数。所以fmax(x)=f(8)=0, fmin(x)=f(6)=0例13.设x,y,z是3个不全为零的实数,求的最大值分析:欲求的最大值,只须找一个最小常数k,使得xy+2yzk(x2+y2+z2) x2+ay22xy (1-a)y2+z22yz x2+y2+z22xy+2yz令2=,则a=解:即又当x=1,y=,z=2时,上面不等号成立,从而的最大值为例14.设函数f:(0,1)R定义为求f(x)在区间上的最大值解:(1)若x且x是无理数,则f(x)=x(2) 若x且x是有理数,设,其中(p,q)=1,0pq,由于63q+964q-8,q17因此f(x)在区间上的最大值作业:1.若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值2.设x
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