高中数学第一章导数及其应用1.3第1课时函数的单调性与导数学案新人教A版.docx

1.3第一课时 函数的单调性与导数一、课前准备1课时目标（1）了解可导函数的单调性与其导数的关系 ；（2） 能利用导数研究函数的单调性；（3）会求函数的单调区间.2基础预探(1)函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 .(2)若 在区间上是增函数,则 在上恒成立；若在区间上为减函数则 在上恒成立,但等号不恒成立.(3) 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数的 ；计算导数，令 ，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根；把函数的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按 的顺序排列起来，然后用这些点把的定义域分成若干个小区间；确定在各个开区间内的 ，根据的符号判定函数在每个相应小区间的增减性.二、学习引领1.在某个区间上单调递增（或递减）的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义更方便，但应注意（或）,仅是在某个区间上递增（或递减）的充分条件,不得误用.2. 在某个区间上单调递增（或递减）的充要条件若在区间（a,b）内可导,则函数在（a,b）上递增（或递减）的充要条件是:，x恒成立，且在（a,b） 的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有,甚至可以在无穷多个点处,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间.3.充要条件的具体应用在已知函数是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若不恒为0，则由，x恒成立,解得的范围即为所求.三、典例导析题型一利用导数求单调区间例1已知函数，其中.求的单调区间.思路导析:先求导函数,再令其为零,求所得方程的根,据此列表判断导函数的符号,从而得函数的单调区间.解： 函数的定义域为.导函数为.令，得，或.当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和.规律总结：依据求单调区间的基本步骤求解,是解决该类问题的主要思路.首先要保证导函数的正确性,然后依据方程的具体情形确定方程的根,即可疑极值点.在含有字母时,要注意字母取值范围的影响,必要时进行分类讨论.列表时,注意在函数的定义域内进行分段.变式训练1已知函数. 求函数的单调区间.题型二 讨论函数的单调性例2设，函数，试讨论函数的单调性思路导析:先求函数的导函数,再解和.解不等式时,需要对进行分类讨论,分别指出函数的单调性.解:由已知得: 求导得 :.对于，当时，函数在上是增函数；当时，解不等式得,函数在上是减函数，在上是增函数.对于，当时，函数在上是减函数；当时，解不等式得,所以函数在上是减函数，在上是增函数.规律总结：通过导数,可以讨论一些简单非基本初等函数的单调性,这正是导数的重要应用之一.其关键是解不等式,往往需要进行分类讨论.对于分段函数的单调性,需要在每一段上分别进行讨论.变式训练2已知函数,讨论函数的单调性.题型三 由函数的单调性求参数范围例3 若在区间1,1上单调递增，求的取值范围.思路导析: 令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解：又在区间1,1上单调递增,在1,1上恒成立 即在1,1的最大值为, , 故的取值范围为.规律总结：解决该类问题的方法主要有两种,其一,将单调性转化为不等式恒成立,此时要特别注意检验导数值等于零时,是否恒成立,若恒成立,则舍去.其二,用字母将函数的单调区间表示出来,依据区间的包含关系,求字母的取值范围.变式训练3已知函数,若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围题型四 证明或判断不等关系例4 已知，求证.思路导析: 将不等式两边的式子作差,构造函数,求导后,判断单调性,并说明时的符号.解：设函数,所以.当时， ，故在递增，当时，,又，即，故.规律总结:若要证的不等式两边是两类不同的基本初等函数，往往构造简单函数，借助于导数,研究函数的单调性,再判断一些特殊值的符号,以实现证明不等式的目标.变式训练4 试证明：当时,lnx.四、随堂练习1. 函数y=x3+x的单调增区间为( ).A.(,+)B.(0,+)C.(,0)D.不存在2已知函数，则（ ）. A在上递增 B在上递减 C在上递增 D在上递减 3. 若函数f(x)=x3ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( ).A.a3 B.a=2C.a3D.0a0恒成立，y=x3+x在(,+)上为增函数，没有减区间.2. 答案:D. 解析:因为,所以,当时,所以,在在上递减.3. 答案：A.解析：,由f(x)在(0,2)内单调递减，得 在(0,2)内恒成立,即在(0,2)内恒成立,所以.4.答案：.解析:,解得:.5答案:4.解析: ,令,解得.6. 解:，.，由，在上单调递增. 由，在上单调递减,的单调递减区间为，单调递增区间为.五、课后作业1. 答案:A.提示：函数的定义域为.,解得:,当时,所以函数在上单调递减,故选A.2. 答案:B.解析:,因为,所以,且.3. 答案:.解析:因为函数的导函数为,所以在定义域上为增函数, 即,所以.4. 答案:增函数.解析：由得因为，所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.5. 解: ，（为常数），