常微分方程第二节一阶微分方程.pptVIP

一阶微分方程的解法及应用 习题课 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 第七章(1) 三、课外练习题 * * 1 1 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程 P315 题7 DateDate 2 2 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 例1 求下列方程的通解 提示: (1)故为分离变量方程: 通解 DateDate 3 3 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 . 化为 DateDate 4 4 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 方法 1 这是一个齐次方程 . *方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 (下册内容). DateDate 5 5 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离 因 变量，得 例2 求解方程 两边积分，得 即得原方程的通解 DateDate 6 6 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 解 原方程变形后为齐次方程 例3 求解方程 ， 作变换 ， 移项，得 则有 DateDate 7 7 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 两边积分，得 将 代入，有 即满足初始条件的解为 由初始条件 ，即原方程的解为 DateDate 8 8 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 解 原方程变形为 即 例4 求微分方程 的通解 此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微 由求解公式得分方程， DateDate 9 9 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 DateDate 1010 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 例5 求下列方程的通解: 提示: (1) 令 u = x y , 得 (分离变量方程) 原方程化为 P315 题7 DateDate 1111 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 DateDate 1212 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 练习题: 求以为通解的微分方程. 提示: 消去 C 得 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : P353 题1，2，3(1), (2), (3), (5), (10) P353 题2 P353 题3 DateDate 1313 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 DateDate 1414 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 原方程化为 , 即则 故原方程通解 提示: 令 DateDate 1515 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 分离变量，得 两边积分，得 例6 求解微分方程 解法1作代换 ，此方程为齐次方程， 则有 DateDate 1616 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 故方程的通解为 即 由于 DateDate 1717 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 *解法2 故方程的通解为 代回原变量，得 此方程为贝努利方程，此时令 方程变形为 则有 DateDate 1818 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 例7 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . 解 (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: 03考研 DateDate 1919 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 DateDate 2020 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 例8 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点 二、解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件. 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 . O , 水流速度大小为 a , 两岸 则 关键问题是正确建立数学模型, 要点: 则鸭子游速 b 为 DateDate 2121 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 定解条件 由此得微分方程 即 鸭子的实际运动速度为 ( 求解过程参考P306例2 ) ( 齐次方程 ) DateDate 2222 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 思考: 能否根据草图列方程? 练习题:P354 题 5 , 6 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 P353 题5 DateDate 2323 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 已知某车间的容积为 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? 提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 则在 内车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 得微分方程 ( 假定输入的新鲜空气 输入 , 的改变量为 P353 题5 DateDate 2424 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 t = 30 时 解定解问题 因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 . 初始条件 得 k = ? DateDate 2525 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数 选用题 小船从河边点 出发驶向对岸(两岸为平行线)，设 船速为 船行方向始终与河岸垂直又设河宽为 ， 河中任 为 )，求小船的航行路线 解 如图建立坐标系统，并使水流方向与 的正向一 致设时刻 时，小船位于 处，则 DateDate 2626 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 其初始条件为 先解得 ，再由初始条件得 ，即 代入到第一个方程中，即有 解得 DateDate 2727 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 再由初始条件，得 即小船的航行曲线为 或消去参数 ，得 DateDate 2828 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 三、课外练习题 1求下列方程的通解： 1) ； 2) ； 3)