2018版高中数学第一章统计1.4.1平均数中位数众数极差方差1.4.2标准差学案北师大版.docx

1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差 1.4.2标准差1会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差(重点)2方差、标准差在实际问题中的应用(难点)基础初探教材整理1平均数、中位数、众数阅读教材P25P26“4.2标准差”以上部分，完成下列问题1众数的定义一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个2中位数的定义及求法把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数3平均数的定义如果有n个数x1，x2，xn，那么，叫作这n个数的平均数判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)当样本中的数据都增加相同的量时，平均数不变()(2)一组样本数据的众数只有一个()(3)样本的中位数可以有两个值()【解析】(1)，根据平均数的定义可知错误(2)，根据众数定义知众数可以一个，也可以多个(3)，由中位数的定义可知错误【答案】(1)(2)(3)教材整理2极差、方差、标准差阅读教材P26“4.2标准差”以下至P28“例3”以上部分，完成下列问题1标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示s.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差s2(x1)2(x2)2(xn)2其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值(3)方差的简化计算公式：s2(xxx)n2(xxx)2.2极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差3数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定()(2)数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定()(3)样本的标准差和方差都是正数()【解析】(1)，极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度(2)，平均数与数据的波动性无关(3)，根据标准差与方差的公式可知【答案】(1)(2)(2)小组合作型平均数、中位数、众数的计算 据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法【精彩点拨】首先根据众数、中位数、平均数的概念进行求解，然后再根据众数、中位数、平均数反映的数字特征来进行讨论【自主解答】(1)平均数是1 5001 5005912 091(元)中位数是1 500元，众数是1 500元(2)平均数是1 5001 5001 7883 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平中位数、众数、平均数的应用要点：中位数、众数反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.(1)求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列.中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势.(2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数.当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势.(3)平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体.有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体.再练一题1在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数【解】在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是(1.5021.6031.901)1.69.所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.方差、标准差的计算 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为： 【导学号：63580009】甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定【精彩点拨】(1)分别利用求平均数和求方差的公式求解(2)从平均数与方差两方面比较【自主解答】(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定1计算标准差的五个步骤：(1)算出样本数据的平均数.(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi(i1,2,3，n)(3)算出(2)中xi(i1,2,3，n)的平方(4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差(5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差2标准差(方差)的两个作用：(1)标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性再练一题2对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀【解】甲(273830373531)33，s(2733)2(3833)2(3033)2(3733)2(3533)2(3133)2，s甲3.96，乙(332938342836)33，s(3333)2(2933)2(3833)2(3433)2(2833)2(3633)2，s乙3.56.由以上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s，甲的标准差为3.96 m/s，乙的标准差为3.56 m/s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀探究共研型数据的数字特征的综合应用 探究1在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高收入达到了100万，他们年收入的平均数是3.5万”如果你希望获得年薪2.5万元，你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？【提示】这里的“收入水平”是指员工收入数据的某种中心点，即可以是中位数、平均数或众数，若是平均数，则需进一步了解企业各类岗位收入的离散情况探究2极差与方差是怎样刻画数据离散程度的？【提示】方差与极差越大，数据的离散程度就越大，也越不稳定，数值越小，离散程度就越小，越稳定在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由【精彩点拨】解答本题可从众数、平均数、方差等几方面综合分析【自主解答】(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些(2)甲(5026057010801390141006)4 00080(分)，乙(5046047016802901210012)4 00080(分)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，s4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.ss，甲组成绩比乙组成绩稳定，故甲组好些(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分其中甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人从这一角度看，甲组的成绩较好(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，乙组成绩集中在高分段的人数多同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人从这一角度看，乙组的成绩较好要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好.像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言做出结论.再练一题3甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图141所示：图141(1)请填写下表：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？【解】(1)由图可知，甲打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力1已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是()A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D众数中位数平均数【解析】可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50.【答案】D2样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为()A.B.C.D2【解析】样本的平均数为1，即(a0123)1，a1，样本方差s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.【答案】D3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图如图142所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()图142A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5D92和92【解析】将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数91.5，中位数为91.5.【答案】A4某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2_.【解析】该组数据的平均数为