河北省高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修.docx

2.3.2双曲线的简单几何性质1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问题重点：双曲线的几何性质难点：双曲线性质的应用，渐近线的理解方 法：合作探究一新知导学1.在双曲线方程中，以x、y代替x、y方程不变，因此双曲线是以x轴、y轴为对称轴的_图形；也是以原点为对称中心的_图形，这个对称中心叫做_2双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的_，双曲线1(a0，b0)的顶点是_，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的_，它的长等于_.同时在另一条对称轴上作点B1(0，b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的_，它的长等于_，a、b分别是双曲线的_和_3.设P（x，y）是双曲线1(a0，b0)上一点，则x ，y .4双曲线的半焦距c与实半轴长a的比值e叫做双曲线的_，其取值范围是_ e越大，双曲线的张口越_5双曲线1(a0，b0)位于第一象限部分上一点P(x，y)到直线yx的距离d_ (用x表示)，d随x的增大而_这表明，随着x的增大，点P到直线yx的距离越来越_，称直线yx为双曲线1的一条_由对称性知，直线_也是双曲线1的一条_6.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条_所在直线即为双曲线的渐近线“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线_接近，接近的程度是无限的7.双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及_构成一个直角三角形，边长满足c2a2b2，称为双曲线的特征三角形(2)实轴长与虚轴长_的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率为_，其两条渐近线互相_椭圆双曲线焦点在x轴焦点在y轴焦点在x轴焦点在y轴图形对称性对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 顶点 轴长长轴长 ，短轴长 实轴长 虚轴长 离心率e ，（ ）e ，（）_）渐近线有 条，其方程为 _ 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系牛刀小试1双曲线1的顶点坐标是()A(5,0)B(5,0)或(0，3) C(4,0) D(4,0)或(0，3)2双曲线x2y21的渐近线方程为()Axy0 Bxy0 Cxy1 Dxy03已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A1 B1 C1 D14(2015石家庄期末测试)已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A B C D5(2015浙江理)双曲线y21的焦距是_，渐近线方程是_.（一）已知双曲线的方程，研究其几何性质 【例一】 求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图跟踪训练1 .以双曲线y21的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是()A (x2)2y24 Bx2(y2)22B C(x2)2y22 Dx2(y2)24 （二）利用几何性质求双曲线的标准方程【例二】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)实轴长为8，离心率为；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，) 跟踪训练2.(1)顶点间距离为6，渐近线方程为yx，求双曲线的方程.(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，求且过点M(2，2)的双曲线方程.（三）双曲线的离心率【例三】已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦如果PF2Q90，求双曲线的离心率跟踪训练3 (1)若双曲线1的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为() A B C D2 (2)(2015湖南)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为() A B C D（四） 实际应用问题【例四】如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中|AP|100m，|BP|150m，APB60，怎样运土才能最省工？ 跟踪训练4如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30方向距离B 2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km.求：(1)河流沿岸PQ所在的曲线方程；(2)修建这两条公路的总费用的最小值 （五）直线与双曲线的位置关系【例五】已知曲线C：x2y21和直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值【例六】 已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，求双曲线的离心率课时小结答案牛刀小试1 A D B C 5、 2；yx例一 将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yxx.作草图如图： 跟踪训练1. D例二 1）标准方程为1或1.(2)由2a2b得ab，e，所以可设双曲线方程为x2y2(0)双曲线过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.双曲线的标准方程为1.跟踪训练2. (1)1或1 (2)1 例三 1. 跟踪训练3 A D 例4解析设M为分界线上任一点，则|MA|AP|MB|BP|，即|MA|MB|PB|PA|50m，所以M在以A、B为焦点的双曲线的右支上易得|AB|217 500m2，建立如图所示的平面直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为1(x25)故运土时，在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工跟踪训练4：根据题意，曲线PQ上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.由此知河流沿岸PQ所在的曲线为双曲线靠近B点的分支所以c2，a1，b，所以河流沿岸PQ所在的曲线的方程为x21(x1)例五(1)由消去y整理，得(1k2)x22kx20.由题意知解得k且k1.所以实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1x2，x1