应用凹凸函数的性质证明不等式

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 10 应用凹凸函数的性质证明不等式 004年第期 中学数学 47 应用凹 (凸 )函数的性质证明不等式 45000 湖北省黄石市第二中学 王碧纯 不等式的证明是高中数学中的一个重要内容 巧性强 ,所以是一个难点 或凸 )函数的性质证明不等式的方式 ,希望给读者以启迪 ,并起到抛砖引玉的作用 . 定义 已知函数 y=f(x)在给定区间 a,b上 ,若 x,xa,b恒有 f(x)(=xf(x) f( 等号 ),则称 ()若恒 )(当且仅当有 f(x)f x=x),则称 f(x)在 a,b上是凹函数 . 应用数学归纳法 ,我们可以证明下面的凹 (或凸 )函数的性质 . 定理 若函数 f(x)在某区间内是凹 (或凸 )函数 ,则对变数在这区间内的任意值 x,x,x, ) f( n , 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 10 n 当且仅当 x=x= ,=证明 为锐角 , 0, 0. (x R+),又 y= x s=+ + =+ + 4 +=+. 例 已知 A,A,A, ,凸 n 边形的 n 个内角 +nn (对于凸函数不等式方向相反 )(x0)为凹定义可知 y=x(x R),y= x 证明 由平面几何知识可知 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 10 (0, ),i=, ,n,且 A+A+ +是凸函 =( .又 y=x (0, 数 . +n n已知 A、 B、 C 为 函数 任给 x,x R,都有 (xx+x +xx+x) ),=( y=x (x R)是凹函数 x,x R+, x 则 是上 + x = xxxx 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 10 述命题中 n=时的特例 . 例 已知 a+b+c=,且 a、 b、 c R+,求证 : (a+)+(b+)+(c+) +(b+)+(c+)证明 (a+ a b c xx , (a+ )+(b+ )+(c+ ) = 故 y= x , x R+是凹函数 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 10 (a+b+c)+ (+) 利用定义我们还可以证明 y=)是凸函数 x (0, 或凸 ) 函数的性质 ,给出某些不等式的证明 . 例 已知为锐角 ,求证 : (+)(+) +. + ) = (+)= 应用上题方法可以得到下面的结 ( 48 中学数学 004年第期 概率小议 兼谈广东省 004年高考第题 506 华南师范大学数学系 孙道椿 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 10 概率的统计定义 :记某个随机事件为 A,若在 u 次彼此无关的试验 (或观察 )中出现了 v 次 ,则称 )= 为随 u 机事件 A 在 u 次独立试验中出现的频率 A 发生的频率 ,u 且当 .从定义可以看出 ,我们指的随机现象应具有二个条件 : 不确定性 :每次实验的结果 (事件 )具有多个可能性 ,且不能确定每次试验会出现哪种结果 . 可重复性 :在相同的条件下 ,试验可重复进行 ;或者可以同时进行多次的相同试验 . 平常 ,人们对第一个条件 不确定性映象很深 可重复性 ,往往容易忽视 概率论是一门实论 : 当 x,x, ,R+,且 x+x+ + ,则有 践性很强的科学 .,就忽视了 . :因此的问题 ,实际生活中也很少 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 10 甲说“布什有 95的可能当选 .”乙说“布什有 50的可能当选 .”丙说“布什有 5的可能当选 .”丁 说“布什肯定不会当选 .” 若结果是布什当选了 ,上面仅有丁一人说错 ,若布什没有当选 ,上面四人全没有错 ,由于美国的选举不可重复 前面三人说的话是不可验证的 ,它只是反映了说话人的主观态度及认识 ,在概率论中是无意义的 . 一般的随机事件 ,用统计定义求出它的概率 ,需要做多次实验 (而且还不能找出精确值 )对实验合理的设计 ,数据的处 =为凸函数 ,即 y=x (0, S (x+ n x )+(x+ x )+ +(品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 10 ) 又 4 设 a、 b、 c 为 求证 : a+b+c 4 = =4 , 由可得 S. a+b+c S (第三届国际中学生竞赛题 ) S. 证明 a+b+c ab+bc+品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 10 = + S( 又 y= x ).+ x0)为凹函数 , ) S(+ 过以上几个不等式的证明 ,对比常见的证明方法 ,显然利用凹 (或凸 )函数的性质证明不等式要简捷得多 不仅可以巩固有关基础知识 ,使得某些复杂问题简单化 ,而且可以培养学生的解题技巧 ,发展学生的思维 能力 . (收稿日期 :004090) 第 信息技术应用能力提升培训总结 本次培训很实用以任务驱动为主线、以活动为中心、以讲授、研讨、自学、评价相结合、以理论相渗透、以技术为支撑，让学员充分感受了教育技术应用的多样性，在学习体精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 10 验中感悟了现代教育理念与运用信息技术支持教学创新的魅力。与以往的培训相比，本次培训具备很多的优点，同时给我们的感受也非常深刻。、培训内容和我们平时的教学工作紧密联系，实用性很强。比如创建教学设计方案，规划主题单元等一系列学习活动能梳