高考数学复习题库 基本不等式

基本不等式一、选择题1若x0，则x的最小值为()A2 B3 C2 D4解析x0，x4.答案D2设a，b满足2a3b6，a0，b0，则的最小值为()A. B.C. D4解析 由a0，b0,2a3b6得1，()()2 2.当且仅当且2a3b6，即ab时等号成立即的最小值为.答案 A3气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了()A600天 B800天C1 000天 D1 200天解析 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为4.95，当且仅当时，取得最小值，此时n800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去答案B4若正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值4 Bab有最小值C.有最大值 Da2b2有最小值解析由基本不等式，得ab，所以ab，故B错；4，故A错；由基本不等式得 ，即 ，故C正确；a2b2(ab)22ab12ab12，故D错答案C5已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析依题意得(ab)，当且仅当，即a，b时取等号，即的最小值是，选C.答案C6已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A0 B1 C2 D4解析由题知abxy，cdxy，x0，y0，则4，当且仅当xy时取等号答案D7. 已知都是正实数， 函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（ ）A B C D答案A二、填空题8. 已知x，y为正实数，且满足4x3y12，则xy的最大值为_解析 124x3y2，xy3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案 39若a是12b与12b的等比中项，则的最大值为_解析 a是12b与12b的等比中项，则a214b2a24b21.a24b2(|a|2|b|)24|ab|1.，这个式子只有当ab0时取得最大值，当ab0时，由于a24b21，故4ab1，即4，故当4时，取最大值.答案 10若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析由x2y2xy1，得(xy)2xy1，即xy(xy)21，所以(xy)21，故xy，当xy时“”成立，所以xy的最大值为.答案11 x，yR，且xy0，则的最小值为_解析144x2y21429，当且仅当4x2y2时等号成立，即|xy|时等号成立答案912在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析假设直线与函数f(x)的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍假设P点的坐标为，则|PQ|2|OP|24.当且仅当x，即x0时，取“”号答案4三、解答题13已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解析x0，y0,2x8yxy0，(1)xy2x8y2，8，xy64.故xy的最小值为64.(2)由2x8yxy，得：1，xy(xy)1(xy)1010818.故xy的最小值为18.14某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解析(1)依题意得y(56048x)56048x(x10，xN)；(2)x0，48x21 440(元)，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为5601 4402 000(元)所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元15设a，b，c都是正数，求证：abc.证明 a，b，c都是正数，都是正数2c，当且仅当ab时等号成立，2a，当且仅当bc时等号成立，2b，当且仅当ac时等号成立三式相加，得2()2(abc)，即abc.当且仅当abc时等号成立16桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米 (1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值解析(1)由题图形知，3a6x，a