高考数学复习题库 空间向量及其运算

空间向量及其运算一、选择题1若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底答案C2以下四个命题中正确的是()A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则ab，bc，ca构成空间向量的另一组基底CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若ab、bc、ca为共面向量，则ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同时为1，设1，则abc，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾答案B3有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb.若xy，则P，M，A、B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析其中为正确命题答案B4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若a，b，c则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcC.abc Dabc解析 abc.答案A5如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()A0 B.C. D.解析设a，b，c由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，cos，0.答案A6如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C1D.解析 ，|2|2|2|22221113，故|.答案D7下列命题中若ab，bc，则ac；不等式|ab|a|b|的充要条件是a与b不共线；若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，dab(、R，且0)，则cd.正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析只有命题是正确命题答案B二、填空题8如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则x，y，z的值分别为_解析()()x，y，z的值分别为，.答案，9. 设R，向量，且，则解析 .答案 10在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCDABCD中，AB1，AD2，AA3，BAD90，BAADAA60，则AC的长为_解析 如图，所以|AC|.答案 11已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_解析 由，得()23()2，故正确；中，由于AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0.故也不正确答案 12如图，空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值等于_X解析设a，b，c.OA与BC所成的角为，a(cb)acaba(a)a(a)a2aa2a2416.cos .答案三、解答题13已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A、B、C、D共面证明 令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0.则(23v)e1(83v)e20.e1，e2不共线，易知是其中一组解，则50.A、B、C、D共面14如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证A1、G、C三点共线；(2)试证A1C平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离解析 (1)证明，可以证明：()，即A1、G、C三点共线(2)证明设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbcca0，abc，ca，(abc)(ca)c2a20，即CA1BC1，同理可证：，因此A1C平面BC1D.(3) abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即C到平面BC1D的距离为a.15把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后EOF的大小解析 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A（0，a,0），B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，a，a），F（a，a,0）.(1)|2222a2，|EF|a.(2)，0aa0，|，|，cos，EOF120.16如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解析设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(2)(a)