商务统计学Ch08.ppt

chap 8-1,第8章 置信区间估计,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,商务统计学(第5版),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-2,学习目标,在本章中你将学到： 构建和理解均值和比例的置信区间估计 如何根据所要得到的均值和比例的置信区间确定样本容量,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-3,章节提纲,本章内容 总体均值, 的置信区间 当总体标准差已知 当总体标准差未知 总体比例, 的置信区间 确定所需的样本容量,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-4,点估计和区间估计,点估计是单个数值 置信区间提供了估计变动的额外信息,点估计,置信区间下界,置信区间上界,置信区间宽度,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-5,能够估计 总体参数 ,点估计,样本 统计量 (点估计),均值,比例,p,x,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-6,置信区间,有多少不确定性是与总体参数的点估计相关? 区间估计比点估计提供了总体特征的更多信息 这样的区间估计称为置信区间,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-7,置信区间估计,区间给出了观测值的一个范围: 考虑样本统计量随着样本的不同而变化 基于一个样本的观测值 给出接近未知总体参数的信息 以置信度表示 例如95%的置信度， 99%的置信度 不能为100%的置信度,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-8,置信区间例子,麦片包装例子 总体的 = 368且 = 15 如果取容量n = 25的样本，你知道 368 1.96 * 15 / = (362.12, 373.88) 包括95% 的样本均值 当不知道时, 使用x 来估计 如果x = 362.3 ，区间为362.3 1.96 * 15 / = (356.42, 368.18) 既然356.42 368.18， 基于此样本的区间正确的表述了 但，其他可能容量为25的样本的区间如何?,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-9,置信区间例子,(续),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-10,置信区间例子,实践中只选择一个容量为n 的样本 实践中不知道，因此也不知道 区间是否真正包含 但是知道以这种方式构造的区间95%的包含 因此，基于这个样本，可以有95%的把握相信区间包含 (这就是置信度是95%的置信区间),(续),注意: 95% 置信区间是基于我们使用z = 1.96的事实,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-11,估计过程,(均值, , 未知),总体,随机样本,均值 x = 50,样本,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-12,一般公式,所有置信区间的一般公式为 :,点估计 (临界值)(标准差),其中: 点估计是样本统计量估计总体参数 临界值是点估计和所要求的置信度的抽样分布产生的值 标准差是点估计的标准误差,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-13,置信度,置信度 置信区间包含未知总体参数 百分数(低于100%),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-14,置信度， (1-),假设置信度=95% 也可写成(1 - ) = 0.95，(故 = 0.05) 一般的相关解释： 构造的所有置信区间95%包含未知的真实参数 特别的，区间可以包含也可以不包含真实参数 没有可能包含在一个特殊区间里,(续),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-15,置信区间,总体均值, 未知,置信区间,总体比例, 已知,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-16,的置信区间 (已知),假设 总体标准差已知 总体是正态分布 如果总体非正态，则使用大样本 置信区间估计: 其中 是点估计 z/2 是正态分布的临界值以上的比例为/2对应的数值 是标准差,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-17,寻找临界值，z/2,考虑置信度是95%的置信区间:,z/2 = -1.96,z/2 = 1.96,点估计,置信下限 临界值,置信上限 临界值,z :,x :,点估计,0,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-18,常用置信度,通常使用的置信度是 90%，95%，和99%,置信度,置信系数,z/2 值,1.28 1.645 1.96 2.33 2.58 3.08 3.27,0.80 0.90 0.95 0.98 0.99 0.998 0.999,80% 90% 95% 98% 99% 99.8% 99.9%,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-19,置信区间和置信度,置信区间,区间从 扩展到,(1-)x100% 区间包含； ()x100% 不包含,均值的样本分布,x,x1,x2,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-20,例子,正态总体中的11个电路样本均值电阻为2.20欧姆。从以往的测试中知道总体标准差是0.35欧姆。 确定总体电阻真实均值的置信度是95%的置信区间。,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-21,例子,正态总体中的11个电路样本均值电阻为2.20欧姆。从以往的测试中知道总体标准差是0.35欧姆。 解答:,(续),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-22,解释,我们95%的确定真实均值电阻在1.9932和2.4068欧姆之间 尽管真实均值可能在也可能不在这个区间，但是此种方法形成的区间95%的包含真实均值,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-23,置信区间,总体均值, 未知,置信区间,总体比例, 已知,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-24,你知道实际上的吗?,可能不知道！ 几乎在所有的实际商业应用中，是未知的 如果有一种情形，是知道的，那么也将是知道的(因为计算需要用到) 如果你真实的知道，则不需要收集样本去估计它。,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-25,如果总体标准差 是未知的，我们可以用样本标准差s来替代。 这种做法是非常不确定的，因为s随着样本的变化而变化。 所以我们用t分布来代替正态分布。,的置信区间 (未知),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-26,假设 总体标准差是未知的 总体服从正态分布 如果总体比服从正态，则使用大样本 用学生t分布 置信区间估计： (其中 t/2 是具有n -1自由度和/2的累积面积的t分布的临界值),的置信区间 (未知),(续),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-27,学生t分布,t 是一个分布集 t/2 的值依赖于自由度 (d.f.) 观察值在样本均值计算后是自由变化的 d.f. = n - 1,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-28,如果这三个数的均值是8.0， 那么x3一定是9 (即, x3 不是自由变化的),自由度 (df),这里，n = 3，所以自由度= n 1 = 3 1 = 2 (对于一个给定的均值，2个值可以是任意的数字，但是第三个数是不能自由变化的),思想：观察值在样本均值计算后是自由变化的 例子：假设3个数字的均值是8.0 令x1 = 7 令x2 = 8 x3是多少？,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-29,学生t分布,t,0,t (df = 5),t (df = 13),t-分布是钟形的对称的，但其尾部比正态的“胖”,标准正态 (t 有df = ),注意： t z 是n增加,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-30,学生t分布表,上部的尾部面积,df,.25,.10,.05,1,1.000,3.078,6.314,2,0.817,1.886,2.920,3,0.765,1.638,2.353,t,0,2.920,表的主体包含t值，但没有概率,令: n = 3 df = n - 1 = 2 = 0.10 /2 = 0.05,/2 = 0.05,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-31,选择t分布值,与z值进行比较,置信 t t t z 度 (10 d.f.) (20 d.f.) (30 d.f.) ( d.f.) 0.80 1.372 1.325 1.310 1.28 0.90 1.812 1.725 1.697 1.645 0.95 2.228 2.086 2.042 1.96 0.99 3.169 2.845 2.750 2.58,注意: t z 是n增加,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-32,t分布的置信区间例子,46.698 53.302,一个随机样本n = 25，有x = 50和s = 8。形成的置信度是95%的置信区间 d.f. = n 1 = 24, 所以 置信区间是,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-33,t分布的置信区间例子,解释这个区间需要假定总体接近于一个正态分布（尤其是因为n仅仅是25）。 这个条件可以通过生成如下形式来进行核查： 正态概率图 盒形图,(续),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-34,置信区间,总体均值, 未知,置信区间,总体比例, 已知,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-35,总体比例置信区间，,总体比例( )的区间估计可以通过对样本比例( p )的不确定性增加一个限制来计算。,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-36,总体比例置信区间，,回忆一下样本比例，如果样本容量足够大，其分布将接近正态分布，有标准差 我们将通过样本数据估计如下形式：,(续),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-37,置信区间端点,置信区间上下界通过以下公式来计算 其中 z/2 是所要求的置信度的标准正态值 p 是样本比例 n 是样本容量 注意：一定要 np 5 和n(1-p) 5,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-38,例子,一个100人的随机样本有25个人是左撇子 生成一个左撇子的真实比例，具有置信度是95%的置信区间,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-39,例子,一个100人的随机样本有25个人是左撇子。生成一个左撇子的真实比例，具有置信度是95%的置信区间。,(续),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-40,解释,我们有95%的把握确信在总体中左撇子的比例在 16.51% 和 33.49%之间 尽管区间0.16510.3349有可能包含也有可能不包含真实的比例，但是对于这100个样本用此种方法生成的区间95%包含真实比例。,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-41,样本容量的确定,均值,样本容量 的确定,比例,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-42,抽样误差,样本容量需要达到置信度(1 - )要求下的误差界限（e） 此误差界限也称为抽样误差 总体参数估计时的不精确量 点估计生成置信区间时增加减少的量,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-43,样本容量的确定,均值,样本容量 的确定,抽样误差 (误差界限),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-44,样本容量的确定,均值,样本容量 的确定,(续),求解n得到,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-45,样本容量的确定,为了确定均值所需的样本容量，必须知道： 目标置信度 (1 - )，其决定了关键值 z/2 可接受的抽样误差 e 标准差 ,(续),basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-46,求样本容量的例子,如果 = 45，在90%的置信度下均值5的估计所需的样本容量要多大？,(取整),所以目标样本容量 n = 220,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-47,如果未知,如果是未知的，其可以通过目标样本容量的公式来进行估计 使用的值应期望至少与真实的值一样大 选择一个试验样本并通过样本标准差s来估计,basic business statistics, 11e 2009 prentice-hall, inc,chap 8-48,样本容量的确