特征值和特征向量教学报告-高等代数.ppt

浅谈对特征值特征浅谈对特征值特征 向量的认识向量的认识 福建工程学院数理系 项景华 主要内容结构图 引言 特征值特征 向量的概念 特征值特征 向量的应用 线性变换 与函数 特征值特征 向量的直观意义 马尔科夫过程 中的应用 在其他问题 中的应用概述 在横梁临界力的 计算中的应用 引言： 线性代数这门课程是大部分在校大学生的一门公共 基础课程，然而很多学生认真学完这门课程之后，对该 课程的一些重要的概念的认识大多停留在运算规则（教 材上的定义）的层面上，如矩阵的乘法，行列式，方程 组的解，线性相关性，矩阵的秩，特征值特征向量等概 念。 这种对概念较为单薄的理解（甚至没有实质的理解 ）阻碍了对整门课程的更深入理解以及学习的兴趣; 当学生们自我感觉这门课程学得很好（只是计算和考试 很好）的时候，却丝毫未觉察到线性代数强大的工具性 性能和深刻的思想光芒。 注1：本文只作教学体会的交流之用，所涉 及的内容无个人创新性。 n至于是否存在上述问题（有待调查研究）以及问 题的根源不是本文要讨论的内容。 n本文的目的有二：一是对该课程中的特征值和特 征向量的概念的描述说说个人的体会；二是谈谈 他们的几个简单的应用。 1、特征值特征向量的概念 n1.1 映射.函数.线性变换 n一元函数 n二元函数 n设a是mn型矩阵， 是n维列向量 n可见矩阵a和函数f一样也是一种映射，只是 更一般空间之间的映射，经常称之为线性变 换/线性映射/线性算子等。 a(.) n矩阵a和函数f都可以看成是空间中元素 的变换器： n x 输入 输出 y n而变换特征无非是反映在如何改变向 量的方向和大小（模长），其完全由 变换器（矩阵）a的结构决定。 n例1 在平面直角坐标系下，将 平面上点作如下变换a: 将每一点 的横坐标放大一倍，纵坐标不变。 n(2)对平面的向量 依次作 n次变换a,向量的变换特点是什么？ n(3)是否有这样的向量，被a作用 之后得到的新的向量的方向与原 向量同向？若有，其大小有何变 化？ n(1) 1.2特征值特征向量的意义 n当变换矩阵 作用在某非零向量 之后所 得到的新的向量与原向量 同方向，大小 缩放为原向量的 倍，即 n则此向量 为a的特征向量，此向量的缩放 倍数 为a在此向量方向上的特征值。 ， n一、特征值为非负实数 上述特征向量 是变换a作用下保持方向不变性的向 量，特征值 为变换a下的向量 的缩放倍数。 n注2： n注1： n当特征值为1时有： 该特征向量 可以理解为变换a下的不动点。 与特征向量 共线的所有非零向量 都 是a的特征向量，且对应同一个特征值 ， 即 二、 特征值特征向量的定义 n常规定义：a是一n阶方阵，若存在一非零 向量 及一数 ，使 ，则称 为 a的特征值， 为对应 的特征值。 n 输入 输出 n变换矩阵a作用于某方向的向量 ，所得 向量与原向量 共线（线性相关），此方 向即为特征向量的方向。 a(.) 三、举例 n例2.将平面直角坐标系 上的任一向量 绕 原点o逆时针旋转 度 ，此旋转变换对应的变 换矩阵 0 x ny n问：此平面上哪个方向 上的向量为此变换的特 征向量？ n结论：在实数域内无特征向量 n例3.现将一圆盘状生面 饼（有弹性）沿某方 向放大(拉伸)2倍，使 其变为椭圆状面饼， （如右图） y x n问：1）此变换的特征向量 是在哪些方向上？对应特征值 分别是多少？ 2）此变换对应的变换矩阵a=? n例5.特征值特征向量在二次曲线中的几何意义 x1 x2 y1 y2 n其他例子： n1.“地球自转一个小时（不考虑公转）”，此变换的 特征向量及特征值。 n2.“把门推开”这一变换的特征向量和特征值。 n思考：假设社会财富在某一阶段内在不同阶层中的分配的 变化看成是一线性变换。若社会财富的初始状态是“两头 小中间大” （穷人，中产者，富人）健康稳定型的占有 状态，并假设变换的特征向量所在的方向分别代表穷人， 中产者，富人所在的方向。 n2.一个阶段之后，由于分配出现问题，中产 阶层消失了，此变换b的特征值如何？ n现考虑如下变换的特征值： n3.中产者消失之后，又经历一个阶段的劫贫济富 的分配政策，贫富分化进一步扩大，此阶段的变换 矩阵c的特征值如何？ n1.由于社会实行理想的分配制度，社会财富按原财富 占有比例在各个阶层中分配，此变换a的特征值结构 如何？ n2.特征值特征向量的应用 n2.1应用（一）（为方便，只考虑二维的情形） n例 1 在markov过程中的应用 n在某城镇里，若每年有30%已婚妇女离婚，20%的单身女士结婚 ，假定该镇总体女士人口数保持不变，现假设有8000已婚女士 ，2000单身女士，试求： nn年后此两类女性人数各为多少? n例2 斐波那契数列的求解 n2.2 应用（二） 考虑 横梁弯曲的问题 将一横梁左端固定在o点，对其右端点施加一向左的水平压力p，当压力 增加到一定程度，横梁遍会出现弯曲，当压力达到一新临界点，横梁进 一步弯曲，依次类推，设横梁长度为l，并设其沿x轴放置，左端点为原 点 ，令 为横梁每一点所在的纵坐标，并假设横梁弯 曲程度不大，为方便起见，设 ，则此系统可通过边值问 题： y 0 x p l 来描述。p是作用在横梁右端的水平力 ，r为横梁的抗挠刚度。 于是有 因此 n结论：通过求a的所有特征值 ，可以算 得横梁每次弯曲的临界力 ，折断的临界 力 。 2.3应用概述 n尽管特征值和特征向量的数学定义是抽象的，且 不管我们认识与否，特征值和特征向量的问题在 我们运动变化着的现实和生活中无处不在的事实 是客观的。 n当我们给吉他调音时，我们就是在解决特征值问题， n当建筑师在研究建筑的结构振动频率时，他们在解 决特征值的问题，而这对地震多发地带是至关重要的， n对这类实际问题，我们说“哪里有震动，哪里就有 特征值问题”， n此外，边值问题的特征值决定着原子的能量状态. n初值问