控制系统的时域分析3.ppt

3.5 一阶系统的时域分析 控制系统中输出信号和输入信号间的关系可 用一阶微分方程描述的称为一阶系统。 i(t) + r(t) c(t) + （a ） 电路图 R C 图3-6 RC电路 其中c(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压， T=RC为时间常数。 微分方程为 如图3-6的RC串联电路即 为常见的一阶电路。 或 3.5.1 数学模型 1 当初使条件为零时，其传递 函数为 这种系统实际上是一个非周 期性的惯性环节。 以下分别就不同的典型输入信号， 分析该一阶系统的时域响应。 图3-6 RC电路 R(s) C(s) （c）等效方块图 R(s) C(s) （b ）方块图 I(s) 2 3.5.2 一阶系统单位阶跃函数响应 因为为单单位阶跃阶跃 函数的拉氏变换变换 式为为： 而系统统的传递传递 函数为为： 对对上式取拉氏反变换变换 ，得 则则在单单位阶跃阶跃 信号作用下系统统的输输出为为： 上式中cs(t)=1为稳态分量，其变化由输入信号的形式决定； 为暂态分量，其变化由闭环极点 决定； 当t时，ct(t)按指数规律衰减到零，c(t)中只剩下稳态分量。 3 传递函数的极点是产生 系统响应的瞬态分量。这一 个结论不仅适用于一阶线性 定常系统，而且也适用于高 阶线性定常系统。 响应应曲线线在t0时的斜率为1/T。 如果系统输统输 出响应应的速度恒为为1/T，当t时时，输输出 c(t)就能达到其终值终值 。由于c(t)的终值为1，因而系统阶 跃输入时的稳态误差为零。 时间常数T取值越小，一阶系统的过渡过程进行得越快； 时间常数T取值越大，一阶系统的过渡过程进行得越慢。 实际工程中，当t=45T 时，即认为过渡过程已经 结束。 图3.7 4 3.5.3一阶系统的单位速度函数响应 令r(t)=t，则有 则由单位速度信号函数输入的一阶系统闭环输 出的拉式变换为： 对上式求拉氏反变换，得： 5 因为为 所以一阶阶系统统跟踪单单位斜坡 信号的稳态误稳态误 差ess(t)为为 上式中cs(t)=(t-T)为稳态分量，是一个与单位斜坡输入信号斜率 相同的斜坡函数,但在时间上滞后一个时间常数T。 为暂态分量，按指数规律变化； 当t时，ct(t)按指数规律衰减到零，其速度由极点 决定。 3.8 6 上式表明： 一阶阶系统统能跟踪斜坡输输入信号。稳态时稳态时 ，输输入和 输输出信号的变变化率完全相同 由于系统存在惯性，当r(t)从0上升到 t 时时，对应对应 的 输输出信号c(t)在数值值上要滞后于输输入信号一个常量T， 这这就是稳态误稳态误 差产产生的原因。 减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可 减少系统跟踪斜坡信号产生的稳态误差。 7 3.5.4一阶系统的单位脉冲响应 当输输入信号为为理想单单位脉冲函数时时，即 r(t)=(t)，则则R(s)1， 输输出量的拉氏变换变换 与系统统的传递传递 函数相同，即 这时这时 的输输出称为为脉冲响应应，记记作g(t)，对上式取拉氏 反变换，得 8 鉴于工程上理想单位脉冲函数不可能得到，而 是以具有一定脉宽和有限幅度的脉冲来代替。因此 ，为了得到近似精度较高的脉冲过渡函数，要求实 际脉冲函数的宽度h与系统的时间常数相比应足够 小，一般要求h1时，系统有两个不相等的负实根，称为过 阻尼状态。 两个不相等的负实负实 根为为 单单位阶跃阶跃 信号作用下系统统响应为应为 16 则 对 求拉氏反变换，得 17 当 时，系统的过渡过程时间可近似 为： 图3-15 过阻尼二阶系统单位 阶跃响应 当 时， 系统的超调量： 18 2. 当01时 当01时 当=1时 当=0时 32 应当指出，因为单位脉冲函数是单位阶跃函数 对时间的导数，所以脉冲过渡函数除了从C(s)=(s) 的拉氏反变换求得外，还可以通过单位阶跃函数作 用下的过渡过程对时间求导数而得到。 上述各种情况下的脉冲过渡函数曲线示于上图中。 33 例3-15 原控制系统统如图图3-23(a)所示，引入速度反馈馈 后的控制系统统如图图3-23(b)所示，已知在图图3-23(b)中 ，系统单统单 位阶跃阶跃 响应应的超调调量Mp%=16.4%，峰值值 时间时间 tp=1.14s，试试确定参数K和Kt，并计计算系统统在(a) 和(b)的单单位阶跃阶跃 响应应h(t)。 图3-23 例3-15图 (a)(b) 34 解： 对对于系统统(b)，其闭环传递闭环传递 函数为为 与典型二阶系统相比较，有 （3-55 ） 而已知Mp=16.4% tp=1.14s 根据 求得 35 由 求得 将 代入(3-55)得 其单位阶跃响应为 36 对对于系统统(a)，其闭环传递闭环传递 函数为为 与典型二阶系统比较有 系统的最大超调量 峰值时间 其单位阶跃响应为 返回 158. 0=16 . 3 10 = =wsrad n 37 3.7 高阶系统的瞬态响应 3.7.1 高阶系统的瞬态响应 n阶系统的闭环传递函数为 38 当输输入为单为单 位阶跃阶跃 函数r(t)=1(t)，即 时时，则则 假设所有闭环零点和极点互不相等且均为实数 39 当极点中还包含共轭复极点时 进行拉普拉斯反变换可得系统的单位阶跃响应 40 3.7.2 高阶系统的降阶 1. 主导极点 在整个响应过程中起着主要的决定性作用 的闭环极点，我们称它为主导极点。 工程上往往只用主导导极点估算系统统的动态动态 特性。即将系统统近似地看成是一阶阶或二阶阶系统统 。2. 偶极子 将一对靠得很近的闭环零、极点称为偶极子。 工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模 值小一个数量级，就可认为这对零极点为偶极子。 闭环传递闭环传递 函数中，如果零、极点数值值上相近 ，则则可将该该零点和极点一起消掉，称之为为偶极子 相消。 41 3.7.3 零极点对阶跃响应的影响 1.零点对阶跃响应的影响 假设系统中增加一个闭环实零点，即系统中 增加了一个串联环节 ，且闭环零点z位于复 平面的左半平面， 42 上式拉普拉斯反变换变换 可见见，增加一个闭环闭环 左实实零点以后，系统阶跃统阶跃 响应应增加了一项项，该项该项 的值值与c(t)的变变化率成正比 ，与该该零点离虚轴轴的距离成反比。显显然，该该零点的 增加将使系统统响应过应过 程加快，超调调量增大，系统对统对 输输入作用的反应应灵敏了。 43 反之，如果增加的闭环闭环 零点位于复平面的右半 平面，即 ，则则 这将使系统响应过程变慢，超调量减小，系统 对输入作用的反应变滞呆了。 44 2. 极点对阶跃响应的影响 假设设系统统增加一个闭环闭环 左实实极点-|p|，系统统在单单位 阶跃阶跃