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三角形 “心”的向量关系我们都知道，在三角形中，因为有三边和三角，故有很多的心。其中作为学生应掌握的四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。一 各心的定义。1 重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。2 垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。3 外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。4 内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。二 各心的向量表示。在三角形ABC中，点为平面内一点，若满足：1，则点为三角形的重心。 分析：由，以为邻边作一平行四边形， 点D为BC中点，如图，由向量的平行四边形法则，有，交BC于D，从而有故为重心。2，则点为三角形的外心。3，或者，则点为三角形的垂心。分析：由有三个等式，其中一个如， 则有，有，故。同理可证，点为三角形的垂心。 而在三角形ABC中，记，则由 ，展开为，则 故 ，同理可证，从而点为三角形的垂心。4，则点为三角形的内心。 分析：若点为三角形的内心。如图，延长，过点C作，由于相似，有，由AD为角A的平分线，有，从而有，故 同理可得，而BO为角B的内角平分线， 有，故 而，所以，有三 动点的轨迹过三角形心的问题：设点P为三角形所在平面内的一个定点，点Q为平面内的一个动点，若满足：1，（其中），则动点Q一定过的重心。2，（其中），则动点Q一定过的内心。 分析：由于表示方向的单位向量之和，由菱形性质可知， 为角A的内角平分线。3（其中），则动点Q一定过 的垂心。 分析：下面只需说明的性质。 如图，在中，延长AD，过点B作记 则，故有 ， 由，从而有，有与共线，从而，与垂直。4（其中），则动点Q一定过的外心。四三角形的外心与它的垂心H的关系： 。在中，以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立坐标系。设，。则不难求得它的外心坐标，从而有 。它的垂心坐标，从而有 。 向量作
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