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文档简介

一阶微分方程 第二节 一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程 第十二章 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程 则 求解步骤: 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 1. 求原函数 u (x, y) 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 五、全微分方程 则称 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 例1. 求解 解: 因为故这是全微分方程. 则有 因此方程的通解为 例2. 求解 解: 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程改写为 即 故原方程的通解为 或 积分因子法 思考: 如何解方程 这不是一个全微分方程 , 就化成例2 的方程 . 使 为全微分方程, 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子. 但若在方程两边同乘 若存在连续可微函数 积分因子. 常用微分倒推公式: 积分因子不一定唯一 . 例如, 对 可取 例3. 求解 解: 分项组合得 即 选择积分因子同乘方程两边 , 得 即 因此通解为 即 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 练习题 解方程 解法1 积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 故通解为 此外, y = 0 也是方程的解. 解法2 化为齐次方程. 原方程变形为 积分得 将代入 , 得通解 此外, y = 0 也是方程的解. 解法3 化为线性方程
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