行列式定义与性质(哈工大线性代数课件王宝玲版).ppt

线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 2010.9.212010.9.21 1 l l 学时学时: :60 60 学时学时 4 4 学分学分, ,共共1515 周课周课, ,开课在第一学期开课在第一学期. . l l 成绩成绩: : 100100 分分 平时平时: : 2020分分, , 期中期中: : 3030分分,期末期末: : 50 50 分分. . 线性代数与解析几何线性代数与解析几何序言 2 线性代数的应用线性代数的应用: :有很多实际问题有很多实际问题, ,都都 可以转成线性代数的方法去解决可以转成线性代数的方法去解决. .在工程学在工程学 、计算机科学、物理学、数学、生物学、计算机科学、物理学、数学、生物学、 密码学、经济学和统计学中都有很多应用密码学、经济学和统计学中都有很多应用. . 线性代数的重要性：线性代数的重要性：线性代数与微积线性代数与微积 分是大学数学基础课分是大学数学基础课. .无论这样评价其重要无论这样评价其重要 性都不为过。而学好这些数学基础课程，性都不为过。而学好这些数学基础课程， 将受益终生将受益终生. . 3 线性代数线性代数 ( ( 抽象抽象) ) 为了解决多变量问题为了解决多变量问题 形成的学科形成的学科. . （代数为几何提供了便利（代数为几何提供了便利 的研究工具的研究工具, , 几何为代数几何为代数 提供了直观想象的空间提供了直观想象的空间) .) . 解析几何解析几何 ( ( 直观直观) ) 相互支撑相互支撑 相互促进相互促进 一、教学内容一、教学内容 4 l l 内容抽象内容抽象 l l 概念多，符号多概念多，符号多 l l 计算原理简单但计算量大计算原理简单但计算量大 l l 证明简洁但技巧性强证明简洁但技巧性强 l l 远期应用广泛远期应用广泛 二、课程特点二、课程特点 5 掌握三基掌握三基基本概念基本概念 基本理论 基本方法 课前预习、课后复习课前预习、课后复习体会思路体会思路 多动手，勤思考多动手，勤思考深入体会思想方法深入体会思想方法 培养培养自学自学能力能力，独立分析问题，独立分析问题和和 独立解决问题的独立解决问题的能力能力 三、学习方法三、学习方法 6 四四、教学要求、教学要求 1.上课遵守纪律上课遵守纪律关手机关手机，不迟到不迟到 ! 2.答疑时间答疑时间: : 第7周开始每周二、四每周二、四 11:50 13:30. 答疑地点答疑地点: : BX215BX215，BX217.BX217. 3.交作业时间交作业时间: : 周一至周五周一至周五 9:00 16:00. 交作业地点交作业地点: : BX215BX215( ( 程老师程老师). ). ( (每章结束后一周内以班为单位上交每章结束后一周内以班为单位上交, ,使用作业本使用作业本 写上学号写上学号!) ) 4.4.以班为单位到答疑室以班为单位到答疑室BX215BX215买作业本买作业本, ,及与教及与教 材对应的习题解答材对应的习题解答( (书后附近书后附近3 3年的期中及期末年的期中及期末 考试题及参考答案考试题及参考答案）2 2本共本共2828元元. . 7 1 1. . 考考研研数学辅导教程数学辅导教程线性代数线性代数; ; 2 2. 03. 03年年-10-10年年代数考研真题详解及与代数考研真题详解及与1. 1.配套配套 的的习题解答习题解答. . 哈工大数学系代数与几何教研室编哈工大数学系代数与几何教研室编. . 答疑室答疑室BX215BX215 售书售书. . 3. 3. 线性代数与空间解析几何学习指导线性代数与空间解析几何学习指导 俞正光俞正光 ( ( 清华清华) ) 等编，科学出版社等编，科学出版社. . 五五、教学参、教学参 考书考书 8 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 第一章第一章 n n 阶行列式阶行列式 9 l l行列式的定义行列式的定义 l l行列式的性质行列式的性质 l l行列式的计算行列式的计算 l lCramerCramer法则法则 本章主要内容本章主要内容 10 本节主要内容本节主要内容 l l 二阶行列式的定义二阶行列式的定义 l l 三阶行列式的定义三阶行列式的定义 l l n n阶行列式的定义阶行列式的定义 l l 行列式的性质行列式的性质 11 设二元线性方程组为 1.1.11.1.1 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式 其中 行列式是一种算式,是根据线性方程 组求解的需要引进的.也是一个基本的数 学工具,有很多工程技术和科学研究工程技术和科学研究问题 的解决都离不开行列式. 1.11.1 n阶行列式阶行列式 12 对方程组用加减消元法求出解: 此解不易记忆，因此有必要引进新的 符号“行列式”来表示解 如果定义二阶行列式如下(对角线法则对角线法则）： + + 13 当系数行列式当系数行列式 D 0时时, ,则方程组有则方程组有 唯一解唯一解, ,其解可表示为其解可表示为: : 14 解解 则方程组的解为 例例1 1 求解方程组求解方程组 由于由于 15 如果定义三阶行列式如下如果定义三阶行列式如下(对角线法则对角线法则） ： 那么对三元一次方程组那么对三元一次方程组 在系数行列式在系数行列式 D 0 时时, , 方程组有唯一解方程组有唯一解, ,其解可表示为其解可表示为: : 16 其中其中 例例2 2 17 问题问题1 1：怎样定义怎样定义n阶行列式阶行列式? ? 定义定义 由由1,2, , n 组成的有序数组称组成的有序数组称 为一个为一个 n阶阶 ( ( 全全) ) 排列排列, , 一般记为一般记为: : 例如例如 自然数自然数1 ,2 ,3 的排列共有六种的排列共有六种. . 1.1.2 1.1.2 全排列的逆序数、对换全排列的逆序数、对换 阶阶排列排列共有 种n 例如例如 是一个是一个n阶排列阶排列, ,叫自然排列叫自然排列. . 18 在一个排列在一个排列 中中, ,如果一个大如果一个大 数排在小数的前面数排在小数的前面, ,则称这两个数构则称这两个数构 成一个成一个逆序逆序. .一个排列的逆序总数称一个排列的逆序总数称 为为逆序数逆序数, ,表示为表示为 l l 如果如果为偶数为偶数, ,则称为则称为偶排列偶排列. . 为奇数为奇数, ,则称为则称为奇排列奇排列. . 定义定义 l l 如果如果 19 例例3 3因为因为 所以所以 23541 是一个奇排列是一个奇排列. . 例例4 4 20 l l 对换对换: : 在一个排列中互换两个数位置在一个排列中互换两个数位置的的 变动变动( (其它数不动其它数不动). ). 对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. . 需要进行需要进行 2s+1 次相邻对换次相邻对换. . 证证(1)(1)相邻对换相邻对换 (2)(2)不相邻对换不相邻对换 定理定理1.11.1 所以对换改变排列的奇偶性所以对换改变排列的奇偶性. . 21 用排列观点总结三阶行列式用排列观点总结三阶行列式: : 1.1.3 1.1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 下面给出下面给出n阶行列式定义阶行列式定义: : 22 定义定义 记一阶行列式 此行列式可简记此行列式可简记或 23 l l由由 个元素组成个元素组成; ; l l为为 n!项代数和项代数和; ; l l 每项为取自不同行列的每项为取自不同行列的n个元素之积个元素之积; ; l l 当行按自然顺序取当行按自然顺序取, ,每项符号由列标排每项符号由列标排 列的奇偶性决定列的奇偶性决定. . 注注 用定义只能计算一些简单的行列式用定义只能计算一些简单的行列式. . 归纳如下：归纳如下： 24 证明对角形行列式证明对角形行列式, ,上上( (下下) )三角形行三角形行 列式都等于其主对角元素的乘积列式都等于其主对角元素的乘积, , 即即 例例5 5 25 只以下三角行列式为例来证明只以下三角行列式为例来证明. . l l 先决定所有可能的非零项先决定所有可能的非零项 l l 其次决定非零项的符号其次决定非零项的符号 证证 26 其中其中 * * 表示此处元素可以是任意的数表示此处元素可以是任意的数. . 例例6 6 27 这个行列式的值一般并不等于这个行列式的值一般并不等于 当 n=4,5 时: 当 n=6,7 时: 问题问题 2:2: 如何决定下面一般项的符号如何决定下面一般项的符号 ? ? 注意注意 28 l l 根据这个结论根据这个结论, ,也可以把行列式表示为也可以把行列式表示为: : l l 行列式还有其它的定义方式行列式还有其它的定义方式 l l 一般行列式不用定义来计算一般行列式不用定义来计算 l l 主要利用行列式性质来计算主要利用行列式性质来计算 注注 29 定义定义 为为D的转置行列式的转置行列式 ( (转置转置) )行列互换值不变行列互换值不变, ,即即 ，称称设设 1.2 1.2 n 阶行列式的性质阶行列式的性质 例如例如 性质性质1 1表明关于行的性质对列也成立表明关于行的性质对列也成立. . 性质性质1 1 30 性质性质2 2(换法换法)换行换行( (列列) )换号换号, ,即即 31 两行(列)同值为零.即推论推论 32 ( ( 倍法倍法 ) ) 把行列式的某一行把行列式的某一行 ( ( 列列 ) ) 的所的所 有元素同乘以数有元素同乘以数k, , 等于用数等于用数k乘以乘以 这个行列式这个行列式, ,即即 性质性质3 3 33 如果行列式有两行如果行列式有两行( (列列) )成比例成比例 ， 则则该行列式为零该行列式为零 推论推论1 1 例如例如 如果行列式某一行如果行列式某一行( (列列) )有公因子有公因子k时时, , 则该公因子则该公因子k可以提到行列式符号的可以提到行列式符号的 外面外面 推论推论2 2 34 ( ( 分拆分拆 ) ) 如果行列式某行如果行列式某行 ( ( 列列 ) ) 的所有的所有 元素都是两数之和，则该行列式为元素都是两数之和，则该行列式为 两个行列式之和两个行列式之和, ,即即 性质性质4 4 35 36 例如例如 37 (消法消法)将行列式的某一行将行列式的某一行 ( ( 列列 ) ) 的各的各 元素乘以常数加到另一行元素乘以常数加到另一行( (列列) )的对的对 应元素上去应元素上去, ,则行列式的值不变则行列式的值不变, ,即即 性质性质5 5 38 预习完1.3 39 总结行列式性质总结行列式性质 性质1 性质2 推论 性质3 推论 性质4 性质5 换行(列)变号. 两行(列)同，值为零. 某行(列)乘数 k=kD. 两行(列)成比例,值为零. D可按某行(列)分拆成两行列式之和. D某行(列)乘数 k 加至另行(列), 行列式值不变. (转置转置) (换法换法) (倍法倍法) (消法消法) 40 l l行列式的行列式的性质性质是有关行列式计算和推是有关行列式计算和推 理的基础理的基础, ,必须熟练掌握必须熟练掌握, ,会灵活运用会灵活运用. . 行列式变换的表示符号行列式变换的表示符号注注 行变换行变换列变换列变换 消法消法 倍法倍法 换法换法 41 计算计算例例7 7 解解 通过行变换将通过行变换将D化为上三角行列式化为上三角行列式 42 奇排列 s 个 偶排列 t 个 (1,2)(1,2)对换对换 (1,2)(1,2)对换对换 证证 全部全部 n( ( 2