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第四节 向量及其线性运算 一、向量及其几何表示 二、向量的坐标表示 三、向量的模与方向角 四、向量的线性运算 五、向量的分向量表示式 六、小结 思考题 向量(vector)： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 一、向量及其几何表示 或 向径：空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量 . 自由向量：不考虑起点、终点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 . 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. 二、向量的坐标表示 向量在x轴上的投影 向量在y轴上的投影 向量在z轴上的投影 由图分析可知 通常用来表示向量的方向 . 表示向量的长度 向量的坐标表达式： 特殊地： 三、向量的模(modulus)与方向角 模长为1的向量，记为 | | 向量的模（大小）： 单位向量(unit vector) ： 或 或 非零向量 的方向角(direction angle)： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角. 当 时， 向量的方向余弦 方向余弦的特征 特殊地 单位向量与方向余弦的关系为: 解 四、向量的线性运算 1. 向量的加法 （平行四边形法则） 特殊地：若 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） (commutativity) (associativity) 注：向量的减法 平行四边形法则 三角形法则 向量加减法的坐标表达式 二、向量与数的乘法（数乘） 数与向量的乘积符合下列运算规律 ： （1）结合律： （2）分配律： 向量与数的乘法的坐标表达式 特殊地，一向量与其单位向量的关系为 两个向量的平行关系 定理 证明充分性显然； 必要性 两式相减，得 解设为直线上的点， 由题意知： 五、向量的分向量表示式 表示向量在x、y、z轴上的投影. 解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 解 六、小结 向量的坐标 向量的模与方向角 （注意分向量与向量的坐标的区别） 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 （注意与标量的区别） （三角形法则） （注意数乘后的方向） 向量的分向量表示式 思考题 思考题1解答 对角线的长为 思考题 2. 已知平行四边形ABCD的对角线 试用 表示平行四边形四边上对应的向量. 思考
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