利用Weibull在对比风险下的加速寿命试验规划机械设计制造及自动化专业毕业设计外文翻译.doc

上海电力学院本科毕业设计（英文翻译） 英文原文：Accelerated Life Test Planning With Independent Weibull Competing Risks 院系： 能源与环境工程学院 专业年级： 机械设计制造及其自动化 学生姓名： 学号： 2012 年5月12日利用Weibull在对比风险下的加速寿命试验规划摘要本文研究规划加速寿命测试（ALT），在竞争风险的存在下。故障时间由特定风险描述Weibull模型。这些故障风险被认为是独立的，和这些最低时间下测试产品的使用寿命。为表达Fisher信息矩阵，通常在ALT规划下提出。最小渐近方差估计及行列式基于标准的讨论，以及相关的测试目标。该方法适用于B级的ALT规划对motorettes绝缘。指数条款阿列纽斯关系，渐近方差，最优，优性，Fisher信息，最大的可能性估计，最优的计划，时间，故障审查。缩略ALT 加速寿命试验Cdf 累积分布函数ML 最大似然Pdf 概率密度函数SEV 将最小极值符号s 测试条件的向量k 失败的风险的数量TI(s) 韦伯在条件风险潜伏故障时间T(s) 在条件观察一生n 总样本数 模型参数向量L() 总对数似然i Weibull分布形状参数i(s) logTi(s)位置参数的影响i logTi(s)尺度参数的影响temp 适用温度i0，i1截距和斜率线性模型i0，i1标准化i0，i1x 标准化压力 比例分配V 加快变量的值的范围 测试计划m 在实验条件下的数v 测试计划，分配各单位 登录审查时间I(, )Fisher信息矩阵下Avar 阿瓦尔渐近方差tp（x） x的一生位数tp（x） tp（x）似然估计需要h（tx） x在时间压力的危险函数h（tx） h（tx）似然估计需要一、引言在加速寿命试验（ALT）中，产品暴露比平时的压力条件较高，导致失败比通常条件下更快速。在这些测试中，温度，电压，气压，湿度，使用率为变量普遍加快。电子产品（如烤面包机，垫圈，电子芯片等），例如，实验室测试将允许预计通过一段时间与更长时间比较。因此，ALT是获得有价值的有关产品可靠性信息的手段，在实验时间限制下。统计模型，物理，化学，或基于材料的性能，适合在加速水平与ALT数据，然后推算结果的使用条件。一个ALT的目标，从一个到另一个情况可能会有所不同。利用水平低的分量估计是最常见的。然而，人们可能感兴趣其他如危险功能数量，也许一个或多个模型参数。幸运的是，ALT测试计划做得很好，比如说，估计位数不得做估计模型参数。因此，测试计划是ALT的第一个关键步骤，如果人们有一个特定的目标。规划单一故障原因ALT，已被广泛在文献探讨。一个常用的方法是使用最大似然（ML）估计的大样本性质。无故障时间假设为一个统计模型，往往以对数正态分布或威布尔回归模型的形式。人们的目标，然后在函数表达假设参数下的Fisher信息模型。测试计划涉及选择的压力水平，并相应分配，将“优化”这一功能。当然也有一些情况下，当一个产品失败，因为一个或几个原因或风险。不幸的是，谷丙转氨酶规划的情况下，多重风险已经得到，文献中很少关注。可扩展的大样本的ALT规划方法从失败的原因之一，多种原因。本文提出与竞争风险的ALT规划方法可以由独立的韦伯模式。A.大纲在过去的工作进行了讨论竞争风险的ALT规划在下一节。第二节讨论了模型的假设为ALT与独立的威布尔竞争风险。它还提供一个表达式的权利功能审查的ALT数据。第三节讨论一个ALT模式加快变量，延伸到竞争的风险情况。Fisher信息矩阵，这是表达学习的ML估计的大样本性质所必需的，在第四节。第五节描述的标准为基础渐近方差，和派生最佳的决定因素的ALT计划。第六节讨论测试计划需要的值计划的ALT。所提出的方法适用于B类ALT绝缘第七节。B.相关工作在本节中，我们回顾上文中，在竞争的工作一个风险规划风险，竞争风险，在ALT（ALT），规划的ALT与竞争风险。1) 竞争风险：竞争风险发生在各种情况下包括医疗，心理，和工程应用。所测试的产品，或在临床试验中的人经常受到一些风险，即失败或死亡的原因。在某些情况下，寿命的定义是最早发生在所有这些风险。例如，在医学上，癌症病人可能死于疾病，心脏病发作或其他原因。1，2枚举工程情况时，产品的失败，因为两个或更多的风险。例如，失败在半导体中的铅或接线引起故障设备。滚珠轴承组件的失败归结为或球失败。3分为电子故障作为产品缺陷要么是由于随机出现在生产过程中（外在），或因产品损耗工作（固有）。下面的应用程序部分介绍了如何B类motorettes绝缘由于关闭，或接地故障而失败。在上述例子中，人们是能够进行检验的，查明失败的真正原因的主题，进一步检查。建议在这篇文章中的方法，使得这一假设。然而在某些情况下，它可能无法查明实际造成或人们是唯一可以推断的原因是属于某些原因引起的分组（屏蔽）。在这些情况下，在这篇文章中提出的方法不一定适用。参考文献45提供的可能性表达式竞争的风险数据与审查，并根据固定实验条件。在特别地讨论的大样本中，ML的估计性能下的威布尔分布，和对数正态分布分布。这些引用提供的基础下面提出的理论成果。2) 在加速寿命试验：第7章的竞争风险1讨论了竞争风险数据模型和分析。一系列系统模型的方法基本上是基于其中系统的寿命相当于最早所有元件的故障时间。作者展示了H级绝缘motorettes可靠性数据的方法。67提出了数据分析方法从一系列系统ALT其中的组件生命无论是常见的，或不同形状参数威布尔分布。参考文献8研究竞争下步进应力加速设计风险。次失败的风险假设独立分布的指数，对数平均每个是一种压力的线性函数。作者取得计划，最小的总和，超过所有故障模式，日志的渐近方差，意味着在使用条件下的寿命。参考文献3的ALT数据分析时，有2个竞争风险。作者假定两个Weibull分布的混合物，建模为线性函数的位置参数压力。他们实施了EM算法的参数估计他们的模型。参考文献9认为ALT的问题，其中退化硬故障的竞争风险。一个布朗运动过程建模的退化失效，而Weibull分布描述的硬故障。他们定义这些失败的产品寿命最低的时代两个故障模式。他们应用该模型的研究在使用条件下的光压力的可靠性的影响发光二极管。3) 故障模式的加速寿命试验规划：多篇论文的ALT规划与失败的原因之一在文献中发现。而10简洁地回顾了设计这样的ALT计划的问题，11给出了一个全面的期刊文章，书籍，和关于这个问题的软件列表。参考文献1是专门研究的ALT。回顾整个在ALT问题的范围，包括统计模型，测试规划和数据分析。这些议题还包括在通过18章20节12。ALT的一个共同的目标是估计感兴趣的数量如利用水平，参数值，或生活位数危险的功能。为此，根据ALT计划大样本性质。通常情况下，发生故障时，假设有一个日志的位置，规模分布，例如威布尔或对数正态分布，其中的位置参数作为施加压力的线性函数，或书面及其相应的转变。参考文献13所产生的为对数正态分布的似然估计的大样本性质或正态分布，而14韦伯或最小极值（SEV）的分布。表一 观测松弛Sr这些结果列入章61。因为审查，这是必要的模型参数指定的值称为“规划值“计划的ALT。参考文献15表威布尔和对数正态分布ALT键计划在各种实验条件下。作者评估试验计划的基础上的分量估计的效率，外推量使用水平，并预期观察到的故障数目。基于这些特性，他们建议在4时02分01秒这是一个样的分配计划“妥协方案”。4:2:1的测试计划，有3个等间距分配比例4/7，2/7，1/7的应力水平最低，分别为中间和最高水平。C.加速寿命试验规划与竞争风险竞争风险上的ALT规划工作是稀疏作为相比单风险。例如，8研究最佳产品步进应力ALT计划受到竞风险。笔者认为要研究失败的各次风险独立分布的指数变数其中的手段施加的压力对数线性函数。他们认为，基于渐近方差准则日志似然估计的平均利用水平的生活。参考文献16，17认为规划问题ALT键时，各次竞争失败风险是独立分布有一个共同的威布尔形状参数，被称为假设。笔者认为减少的ML估计的渐近方差位数的和危险的功能，和决定因素为基础的标准如和最优。该方法被证明章17使用的H级绝缘的例子。“当风险有不同的形状，目前考虑的情况下这是从数据估计的参数。该方法这里包括16，17作为一种特殊的案件。二、独立的似然函数威布尔风险由于该产品暴露于已知类型的故障或条件的风险，其寿命被认为是时间与独立的部分，其中一系列系统故障部分代表与失效时间的风险。产品生命是这些风险倍以上，也就是说如果故障时间审查实施, T（S）是右删失，或观察。此外，当产品出现故障时，只有一个T1(s),Tk(s)被观察到。而其余则右删失或潜在的。如果风险是失败的原因，则Tr（s）在r #i时右删失Ti（s）。记nir为失败的次数风险为i，在条件Sr当i=1,m.16中的表1. 记录如下，总结了所有在Sr的数据ML方法用于获取模型参数的估计。似然函数定义如下：使TTTrl是总（改造）时间在试验条件关于风险。事实上，它确实是在测试sr的总时间。如果l=1（指数个案）为所有。设矢量为未知的模型参数。所有的可能性贡献数据，Sr如以下公式 （1）因此，总的对数似然函数如下 （2） 在特殊情况下，具有特殊的ML估计如大样本近似正态的性质，渐近无偏性和一致性。见附录B12。三、加速寿命试验模型在这一节，我们讨论了统计模型是常用使用ALT的数据分析。威布尔和对数正态分布通常假定分布的位置参数是一个线性函数，可能转化，加快变量。该模型是基于物理或化学性质失败的进程。考虑失败的原因之一的情况下，1加速变量。假设SEV将其位置参数被建模成 让我们的产品SU使用水平，是一个可行的上部该模型是有效的约束。规范计算这样0x1。观察SU，SU对应XU=0和XH=1。因此，位置参数可以看作对于k2风险时，延长这个模型通过分配当i=1,k. 相关模型参数为 ， 四、Fisher信息矩阵在本节中，我们提出的公式计算所需的Fisher信息矩阵，它是用来获得大样本似然估计的性质。一个ALT计划有实验具有相应的条件x1x2xm这样非零分配。假设个别测试终止（场合）登录后审查时间。该模型认为在这里，Fisher信息矩阵该计划是预期值的第二部分衍生物的对数似然。此矩阵量化试验计划下的数据所得的资料量。在一个单一的实验条件下，独立的Weibull风险，5得出的预期值的第二作者衍生物的对数似然。用他们的结果，也可以是从一个单一的获得表明，有关风险的信息观测资料的形式 (3)其中Aij,Bij,Cij，在附录中给出的形式。根据样本大小的测试计划，单元测试条件xj。因此，对风险的总所得资料从数据 , (4)Fisher信息矩阵块I(; )(3k3k)次块对角矩阵FI。如果是g()利益的数量（例如分量，风险函数，概率），那么其似然估计是渐近（大样本）根据测试计划的变异c是偏导数g()方面的载体在里。五、测试计划的标准在本节中，我们讨论了几个标准可以用来评估及比较测试计划。标准往往取决于ALT的目标。A.在条件生活位数x在ALT和生活中的一般测试中，人们往往是感兴趣的利用水平较低的生活位数。因此，一个标准比较计划将是渐近方差似然估计。时间的累积分布函数（CDF）失败T是 获得条件的产品生命周期tp（x）位数通过求解。因此，是解决方案方程。， 和它的ML估计得到代的ML模型参数的估计在（6）中。一个封闭的形式可以是如果。这样，是韦伯CDF派生。参见16。模型参数的延伸 （7）当i=1,k. 如果 (8)然后 (9)的小值的测试计划被视为高效，因此是可取的。B.条件风险函数风险函数是另一个数量，除了从中位数中，人们可能要估计。根据条件x，在时间的风险函数给出模型参数h(t x)的衍生 (10)当i=1,k.,如果 (11)则 (12)是ML在的估计C.D和DS的最优Fisher信息矩阵的行列式I(; )是Fi在（3）和（4）中给出。一个测试计划，最大限度地提高I(; )，被称为一个最佳的测试计划。实际上，它最大限度地减少模型体积的的瓦尔德型联合置信区域参数。参数的一个子集的情况下，Ds当是首要利息，最优的测试计划是比较合适的。例如，如果风险是研究的主要重点，则是有意义的减少的的瓦尔德型联合置信区域的体积为i0，i1和i。这是相当于找到一个最佳的测试计划，最大限度地减少Fi的决定因素。我们把它作为Ds最佳风险测试计划。D.等价定理在这一节，我们往往是用等价定理来验证测试计划的全局最优。我们使用定理验证渐近方差，D和Ds最优分别测试计划opt。参考文献16，17提供可用于验证全局最优的定理渐近最低标准下的测试计划方差，D最优，Ds最优。他们均转载定理5.2和5.3以下略作修改以参数估计的数目。定理5.1：定义g（）是一个利益的数量，g（）其似然估计ML。假设，。则然后是最低的，当且仅当时。这个定理的推导类似等价18中的定理。我们用这个定理，检查全局V用于生活位数估计超过计划的最优是由（7） - （9），和风险函数这是由（10） - （12）。定理5.2：表示tr（.）定义了跟踪功能方阵。让.则opt是最佳定理5.3：强调Fi（）对Fi的依赖在测试计划，并重新Fisher信息矩阵如M是块与块矩阵对角线Fi()当i=1,k,且i#j。使然后opt是Ds中的最佳风险IFF，。最后的两个定理可以从19的结果中找到。为了验证这一点，这是足以说明，对于不属于v各级opt，、对应所有水平opt。在现实生活中的应用，这些要求提供了严格的证明是不可能的。对于下面的例子中，对情节表明上述条件满足了一些V值的范围。然后，该计划opt被认为是全球最佳。例如， 1和2所示。六、测试计划值ALT需要之前的信息，例如，在规划模型参数值的形式。标准的讨论以上是基于Fisher信息矩阵，是依赖于规划的审查结果的值。在K= 1时失败型I设限的原因，它足以分配= 1，并指定在两个不同的比例未能应力水平。例如13对正常和对数正态分布的情况下，14 SEV和韦伯的情况下，20。参考文献16考虑k2的风险下独立的情况下与已知的共同尺度参数威布尔分布和I型审查。计划在这种情况下，ALT，足以指定和分数没有预定审查时间在2K不同的压力。模型参数可从这些得到反相的系统方程，涉及一生CDF。目前的问题是从这个不同以前的工作，因为每个风险被分配一个不同的尺度参数，而这些尺度参数估计数据。对于独立的风险k2与不同形状的情况下参数，我们提出如下意见。检查（3），（4），（13） - （15）表明，值唯一确定，即当i=1,.,k,且j=2,k。每个实验条件尽可能描述这些量的值的组合。因此，他们可以是一个集ALT的规划值。目前的问题。另外，可以使用一个标准化的登录审查时间，对比率，当j=2,k。和预期的比例在不同的层次失败作为规划值。这种方法需要派生值当i=1,k从系方程涉及的（5）中的CDF。这是可以做到根调查程序，例如，基于牛顿 - 拉夫森算法。图1 与标准化的压力验证测试计划位数估计图2 与标准化的压力验证测试计划的最优根据（4），常数的Fi/n和I（；）/n是遵从n所有。因此，只需设置找到n=1时最优计划。确定规划值是不是一个简单的过程，是一个明智的决定。最理想的情况是，当在类似一生对同一产品的信息或数据在过去的条件已收集。估计，衍生从数据模型参数，可以作为规划值。另一方面，一个新产品的信息间接获得工程判断，或过去的经验类似的产品。在任何情况下，15实验条件下获得的最优计划被视为（低分数不及格），最有可能的，和（高分数不及格）。是一种实用的ALT键计划然后基于这些条件放在一起。七、应用：B级绝缘MOTORETTES在本节中，ALT规划程序如上所述应用到实际情况。得到最佳的测试计划，每个测试计划的准则，其全局最优超过一定的测试范围V内使用的等价定理进行验证。被认为是最好的4：2：1的测试计划，因为他们在k=1时的风险的情况下，提供一些推断之间的平衡使用水平，预期失败的数字，估计效率。 详见15。参考文献1提供的数据，从B级绝缘ALT系统在motorettes。绝缘故障根据3风险，即关闭，相位和地面，每一个发生在不同的部分系统。电机的使用寿命是第一次出现这些失败的。实验的目的是估算在使用温度为130绝缘寿命中位数。失败是加速暴露motorettes温度介于150。C和220。C。试验运行最高可达的15,645小时，大部分故障是由于关闭和接地故障。我们考虑k=2的情况下右删失观察治疗阶段故障的故障模式。一个合适的模型，当温度在加速变量是Arrhenius模型。见第2章的1，第18章的12讨论。用temp。C表示温度在摄氏度。在开尔文温度的规定模式为tempK=temp。C+273.15。 SEV将其故障模式的位置参数写成其中的参数i0，i1有关物业的motorettes。假设Arrhenius模型是合适的，关闭（风险i=1）和地（风险i=2）是个独立的Weibull失败次数。假设规划的价值观，基于ML估计，10=-22.1555，11=09245，1=0.1796，20=-20.3446，21=0.8515和2=0.3656。分配tempUK=130+237.15=403.15，且tempHK=220+273.15=493.15K让最大的测试时间是15（在1000小时）。因此，根据上节的讨论第三和第六，规划值3k=6获得=log(15)，1=0.18，2=0.37，10=4.46，11=-4.86,20=4.17,21=-4.47。另外，重视规划也可以得到=log(15)/1=15.08，2/12.04，未能在130。C，140。C，150。C, 160。C的比例。这些温度下，标准化的设置，和失败各自的分数分别为（0，0.0191），（0.1326，0.0930），（0.2590，0.3958），（0.3795，0.9714），。测试（温度）在V=（130。C,220。C）范围内，或（0,1）时标准化，如第三节中所述。A.B级绝缘的优化试验计划对于B级绝缘ALT，我们得到的测试计划为减少ML的估计的渐近方差位数利用水平，在t=15时间一千小时利用水平的危险功能;计划D-最优，DS-最佳转向故障（i=1），DS-最佳接地故障（i=2）。进行数值优化与该NL2SN的援助，Fortran程序用于解决无约束极小化问题21算法的基础上。所使用的计算机程序在这篇文章是从作者。表二列出了n=100样本大小的最佳计划。对于每一个最优标准，表的第二列温度设定，分配的单位数目它，和预期未能出的单位数量。在最后一列，取得的最佳标准值（基于），并预期总失败了，还给出。我们有以下几点意见。行列式的计划有两个不同的温度设置，同时计划位数和危险估计几乎相同的3级的计划。温度设定使用的130级以上。这并不令人惊讶因为只有2左右，预计在130失败，较高的温度转化为更多的失败当然意味着更多的信息。测试计划涉及外推到15至13031。 - 预计总未能对这些计划的范围从87到100。该计划说明，这些失败的号码外推量的增加。表二最佳的测试计划的B级绝缘测试，10=4.46,11=-4.86,20=4.17，21=-4.47，1=0.18，2=0.37，样品大小为n=100，和审查时间15万小时 表三优化4:2:1为B级的绝缘测试的测试计划，10=4.46，11=-4.86，20=4.17，21=-4.47，1=0.18，2=0.37，样本大小为n=100，和审查时间15万小时表一和表二是等价定理的实现V-D的，V=（130。C，220。C）是用来验证全局最优超过计划。表二图位数和危险的估计是类似的。横轴是标准化的温度条件，与实际温度值都写在括号内。这些曲线数字应该留在下面y=0，并相交于水平的y=0最优方案。这些图显示，这些计划的确是最佳的温度范围内对所有的测试计划（130。C，220。C）。很少在实际应用中实现最佳的测试计划。相反，他们更多的标准或基准作为实际的测试计划。我们应考虑的影响规划最佳的测试计划的价值。例如，如果计划值比实际上更为乐观，派生测试计划，将有较低的温度设定，因此少于预期，但少推断使用温度的失败。另一方面，测试计划基于规划的价值将涉及到较高的温度，即更多的失败，但更多的推断。一个良好的切实可行的计划提供了一个很好的平衡（通过失败）之间的信息和推断在实际应用中。最低水平1图3 0.10分位数在4:2:1的样本量105测试计划下的使用条件下的似然估计的渐近和小样本的方差，审查时间15万小时以上。温度是在括号中B.最佳4:2:1测试计划在本节中，我们下获得最佳4:2:1测试计划，在上一节相同的标准。表三给出了它们的温度设置，分配和信息预计失败。全局最优的比较计划，我们所采取的比例计算测试计划的效率在表二的标准值的相应值表三中的计划。的效率，以百分比表示，最佳4:2:1测试计划是在最后一栏表三。我们有以下几点意见除位数和危险的估计，金额作者外推到130，和预期的失败数字最佳4:2:1测试计划，相应的类似表二中的最佳测试计划。 4:2:1计划位数和危险估计涉及更多的推断，但与预期的失败，比相应的最优计划。最优的D，DS最佳回合失败（i=1）计划有最坏的效率(30%)。该计划估计的0.10分位数，和危险的功能有94的最佳效率。最佳计划接地故障(i=2)下的61。C.模拟研究在本节中，模拟研究，以确定渐近（大样本性质）近似似然估计的小样本性质使用条件的10位数。结果提供的信息计划在小样本情况下的表现。我们模拟4:2:1，样本大小n=105下的测试计划10=4.46，11=-4.86，20=4.17，21=-4047，1=0.18，2=0.37，和15万小时的审查时间。图3地块的渐近，样本方差分别低于4:2:1的测试计划，不同的价值观的最低水平x1。每一个计划是模拟2000次。垂直线表示最好的最低水平（约160。C）4:2:1的测试计划。图中显示之间的相对差异在固定样本的样本方差是由那些反映根据渐近。这表明，最优计划的预计将接近样品n=105的最佳使用渐近大小。图4地块样本是指在4时02分01秒的测试计划.5标准偏差范围，根据样本方差。水平线代表的真正价值。情节表示的ML估计，高估了真实的分量，但属于估计的标准偏差平均。同时，偏见是比较小的，最好的4:2:1的测试计划。八、总结进一步研究本文介绍了以发生时次为ALT规划工具可以由独立的竞争风险威布尔分布。产品的生命周期假设是当这些风险发生的时间。1617，竞争风险建模为独立的Weibull与常见的形状参数，最优计划有两个不同的层次。在这里，形状参数是未知的，并允许不同。对于B类绝缘例如，相应的最优计划有2个或3个不同的水平。在这里，并在16和17，等价定理用于验证全局最优。最低水平1图4 剧情的小样本似然估计的0.10分位数意味着在使用条件下的样本大小1054时02分01秒的测试计划，审查时间15万小时。 温度在括号（0.5标准偏差范围是根据绘制在图3上的小样本差异）鲁棒性的测试计划与规划应研究价值。例如，如果当1=2时似然估计时作为规划值，结果4:2:1的测试计划表三。更大的差异是之间所产生的全局最优计划那些在表二。并且贝叶斯方法可受雇于规划值分配了一套先验分布。这将是值得考虑的情况下，当发行是独立的对数正态分布，而不是竞争的风险韦伯。在这种情况下，45提供了基础研究的大样本性质的理论成果的ML估计。这种情况目前正在调查中。的依赖风险的情况下也应考虑。为对数正态分布的情况下，多元正态分布假设，以及相关的结果45。 “韦伯的情况下不会那么简单，因为有一个依赖模型的威布尔分布随机数的方法。例如，22。因为没有一般模型，统一这些方法，理论结果显然会随假设模型。附录Aij，Bij，Cij的形式，用来和用于计算的信息（3）矩阵的比较如下。对于i=1,.,k和j=1,.,m,定义以下的数量。 (13) (14)(15)在上面的表达式的积分计算使用Fortran的自动集成QUADPACK描述23。在这篇文章中使用的计算机程序是从可用作者。致谢笔者要感谢副主编和裁判他们的建议改善的早期版本的文章。参考文献1 W. Nelson, Accelerated Testing: Statistical Models, Test Plans, and Data Analyses. : John Wiley & Sons, Inc., 1990.2 R. V. Craiu and T. C. M. Lee, “Model selection for the competingrisks model with and without masking,” Technometrics, vol. 47, pp.457467, Nov. 2005.3 C. M. Kim and D. S. Bai, “Analyses of accelerated life test data under two failure modes,” International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering, pp. 111126, Jun. 2002.4 M. L. Moeschberger and H. A. David, “Life tests under competing risks of failure and the theory of competing risk,” Biometrics, vol. 27, pp. 227242, Dec. 1971.5 H. A. David and M. L. Moeschberger, The Theory of Competing Risks. : Macmillan Publishing, Co., Inc., 1978.6 J. P. Klein and A. P. Basu, “Weibull accelerated life tests when there are competing causes of failure,” Communications in StatisticsTheory and Methods, vol. A10, pp. 20732100, 1981.7 J. P. Klein and A. P. Basu, “Accelerated life tests under competing Weibull causes of failure,” Communications in StatisticsTheory and Methods, vol. A11, pp. 22712286, 1982.8 D. S. Bai and Y. R. Chun, “Optimum simple step-stress accelerated life-tests with competing causes of failure,” IEEE Trans. Reliability, vol. 40, pp. 622627, Dec. 1991.9 W. Zhao and E. A. Elsayed, “An accelerated life testing under competing failure modes,” in The Annual Reliability and Maintainability Symposium, Jan. 2004.10 W. Nelson, “A bibliography of accelerated test plans,” IEEE Trans. Reliability, vol. 54, pp. 194197, Jun. 2005.11 W. Nelson, “A bibliography of accelerated test plans part IIReference,” IEEE Trans. Reliability, vol. 54, pp. 370373, Sept. 2005.12 W. Q. Meeker and L. A. Escobar, Statistical Methods for Reliability Data. : John Wiley & Sons, Inc., 1998.13 W. Nelson and T. Kielpinski, “Theory for optimum censored accelerated life tests for normal and lognormal life distributions,” Technometrics, vol. 18, pp. 105114, Feb. 1976.14 W. Nelson and W. Q. Meeker, “Theory for optimum censored accelerated life tests for Weibull and extreme value distributions,” Technometrics, vol. 20, pp. 171177, May 1978.15 W. Q. Meeker and J. G. Hahn, Volume 10 of the ASQC Basic References in Quality Control: Statistical Techniques. Available from the American Society for Quality Control. Milwaukee, WI, 1985, 310 W. Wisconsin Ave, 53203.16 F. G. Pascual, “Accelerated life test planning with indepen