毕业设计（论文）-基于MATLAB的倒立摆PID控制系统设计.doc

题题 目目 基于 matlab 的倒立摆 pid 控制系统设计 目 录 摘要 .1 一、自动控制概述 .2 1.1 自动控制概念 2 1.2 自动控制系统的分类 3 1.3 对控制系统的性能要求 5 1.4 典型环节 5 二、matlab 仿真软件的应用9 2.1 matlab 的基本介绍9 2.2 matlab 的仿真9 2.3 控制系统的动态仿真 10 三、倒立摆系统及其数学模型 .13 3.1 系统组成 .13 3.2 模型的建立 .15 四、pid 控制理论.23 4.1 pid 控制概述23 4.2 pid 的控制规律24 4.3 数字 pid 控制 .25 4.4 常用的 pid 控制系统 .27 五、倒立摆的 pid 控制器设计与调节 30 5.1 pid 控制器的设计30 5.2 pid 控制器设计 matlab 仿真.33 设计总结 37 参考文献 38 0 摘 要 倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制 研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本论文以倒立摆实验装置为平台，重点研究其pid控制方法，设计出相应的pid控 制器，并将控制过程在matlab上加以仿真。 本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍 倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系 统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以matlab为基础，做了大量的仿真研 究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技matlab实时控制软件实验平台；利用 设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等， 研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。 关键词：倒立摆，pid，matlab 仿真 1 1、自动控制概述 1.1 自动控制概念 在现代科学技术的许多领域中，自动控制技术得到了广泛的应用，自动控制技术 最显著的特征就是通过对各类机器，各种物理参量、工业生产过程等的控制直接造福 于社会。 所谓自动控制，就是指在无人直接参与的情况下，利用控制装置操纵受控对象， 使受控对象的被控量等于给定值或按给定信号变化规律去变化。 为达到某一目的，由相互制约的各个部分，按一定的规律组织成的，具有一定功 能的整体，称为系统，它一般由控制装置（控制器）和被控对象所组成。 自动控制有两种最基本的形式，即开环控制和闭环控制。 1.1.1 开环控制 控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为开环控制。其特点 是：系统结构和控制过程均很简单。开环控制的示意框图如图1.1所示 图 1.1 开环控制系统 开环控制是一种简单的无反馈控制方式，在开环控制系统中只存在控制器对被控 量对象的单方向控制作用，不存在被控制量(输出量)对被控量的反向作用，系统的精 度取决于组成系统的元器件的精度和特性调整的精确度。开环系统对外扰及内部参量 变化的影响缺乏抑制能力，但开环系统内构简单，比较容易设计和调整，可用于输出 量与输入量关系为已知，内外扰动对系统影响不大，并且控制精度要求不高的场合。 在开环控制系统中，对于每一个输入参考量，就有一个与之相对应的工作状态和 输出量，系统的精度取决于元、器件的精度和特性调整的精度，当系统的内扰和外扰 影响不大并且控制精度要求不高时，可采用开环控制方式。 2 1.1.2 闭环控制 控制装置与受控对象之间，不但有顺向作用，而且还有反向联系，即有被控量对 控制过程的影响。 闭环控制的特点是：在控制器和被控对象之间，不仅存在着正向作用，而且存在 反馈作用，即系统的输出量对控制量有直接影响，将检测出来的输出量送回到系统的 输入端，并与信号比较的过程称为反馈，若反馈信号与输入信号相减，则称负反馈。 反之，若相加，则称正反馈，输入信号与反馈信号之差称为偏差信号，偏差信号作用 于控制器上，控制器对偏差信号进行某种运算，产生一个控制作用，使系统的输出量 趋向于给定数值，闭环的实质就是利用负反馈的作用来减小系统的误差，因此闭环控 制又称为反馈控制,其示意图如图1.2所示。 图 1.2 闭环控制系统 反馈控制是一种基本的控制规律，它具有自动修正被控量偏离给定值的作用，使 系统因而可以抑制内扰和外扰所引起的误差，达到自动控制的目的。 闭环控制是一种反馈控制，在控制过程中对被控量(输出量)不断测量，并将其反 馈到输入端与给定值(参考输入量)比较。利用放大后的偏差信号产生控制作用。因此， 有可能部分采用相对来说精度不高，成本较底的元器件组成控制精度较高的闭环控制 系统，闭环控制系统精度在很大程度上由形成反馈的测量元器件的精度决定。在此， 闭环系统具有开环系统无可比拟的优点，故应用极广，但与此同时，反馈的引入使本 来稳定运行的开环系统可能出现强烈的振荡，甚至不稳定，这是采用反馈控制构成的 闭环控制时需要注意解决的问题。 1.2 自动控制系统的分类 根据不同的分类方法，自动控制系统的类型可概括如下： 3 1.2.1 恒值系统、随动系统和程序控制系统 若系统的给定值是一定值，而控制任务就是克服扰动，使被控量保持恒值。此类 系统称为恒值系统。 若系统给定值按照事先不知道的时间函数变化，并要求被控量跟随给定值变化， 则此类系统称为随动系统。 若系统的给定值按照一定的时间函数变化，并要求被控量随之变化，则此类系统 称为程序控制系统 1.2.2 随机系统与自动调整系统 随机系统又称伺服系统或跟踪系统。其特点是在输入量总是在频繁地或缓慢地变 化，要求系统的输出量能够以一定的准确度跟随输入量而变化。 自动调整系统又称恒值调节系统（或调节器系统）其特点是输入保持为常量，或 整定后相对保持常量，而系统的任务是尽量排除扰动的影响，以一定准确度将输出量 保持在希望的数值上。 1.2.3 线性系统和非线性系统 组成系统的元、器件的特性均为线性（或基本线性）能够用线性常微分方程描述 其输入与输出的关系称为线性系统，主要特点是具有齐次性和叠加性，系统时间响应 的特征与初始状态无关。 在组成系统的元、器件中只要有一个元、器件的特性不能用线性方程描述，即为 非线性系统，描述非线性系统的常微分方程中，输出量及各阶导数不完全是一次的， 或者有的输出量导数项的系数是输入量的函数，系统的时间响应特性与被初始状态有 极大的关系。 1.2.4 连续系统与离散系统 连续系统各部分的输入和输出信号都是连续函数的模拟量。 离散系统是指某一处或者数处的信号以脉冲或数码的形式传递的系统。 一般说来，同样是反馈控制系统，但数字控制精度（尤其是控制的稳态准确度） 高于离散控制。因为数码形式的控制信号远比模拟控制信号的抗干扰能力强。 描述连续控制系统用微分方程，而描述离散控制系统则用差分方程。 4 1.3 对控制系统的性能要求 在控制过程中，一个理想的控制系统，始终应使其被控量（输出）等于给定值 （输入）。 但是由于机械部分质量、惯量的存在，电路中存储元件的存在以及能源功率的限 制，使得运动部件的加速度受到限制，其速度和位置难以瞬时变化。所以当给定值变 化时，被控量不可能立即等于给定值，而需要一个过度过程，即动态过程，所谓动态 过程就是指系统受到外加信号（给定值或扰动）作用后，被控量随时间变化的全过程。 因此对系统性能的基本要求有三个方面。 稳定性：稳定性是这样来表述的：系统受到外作用后，其动态过程的振荡倾向和 系统恢复恢复平衡的能力。如果系统受外力作用后，经过一段时间，其被控量可以达 到某一稳定状态，则称系统是稳定的，否则称为不稳定系统。 快速性：快速性是通过动态过程时间长短来表征的，过渡过程时间越短，表明快 速性越好，反之亦然。快速性表明了系统输出对输入响应的快慢程度。系统响应越快， 说明系统的输出复现输入信号的能力越强。 准确性：准确性是由输入给定值与输出响应的始终值之间的差值来表征的。它反 映了系统的稳态精度。若系统的最终误差为零，则称为无差系统，否则称为有差系统。 稳定性、快速性和准确性往往是互相制约的。在设计与调试过程中，若过分强调 系统的稳定性，则可能会造成系统响应迟缓和控制精度较低的后果：反之，若过分强 调系统响应的快速性，则又会使系统的振荡加剧，甚至引起不稳定。 在分析和设计自动控制系统时，应该尽量使其对三方面的性能有所侧重，并兼顾 其他，以全面满足要求。 1.4 典型环节 一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然各种元件的具体结构和作用原 理是多种多样的，但若抛开具体结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性， 就可以划分为数不够的几种典型环节（典型环节只代表一种特定的运动规律，不一定 是一种具体的元件）。 5 tr dt tdc t 1.4.1 比例环节 比例环节的微分方程为 （1.1）)()(tkrtc 式中，为放大倍数。 k 比例环节的传递函数为 （1.2） 图 1.3 比例环节方框图 比例环节的特点是，其输出不失真，不延迟，成比例地复现输入信号的变化，即 信号的传递没有惯性。 1.4.2 积分环节 积分环节的微分方程为： （1.3） 其中t为积分时间常数 积分环节的传递函数为： （1.4） 其中积分环节的方框图如图1.4所示 图 1.4 积分环节方框图 积分环节的特点是，输出量与输入量对时间的积分成正比。若输入突变，输出值 要等时间t之后才等于输入值，故有滞后作用。输出积累一段时间后，即使使输入为 零，输出也将保持原值不变，即具有记忆功能。只有当输入反向时，输出才反向积分 而下降。常利用积分环节来改善系统的稳态性能。 k sr sc sg )( )( )( tssr sc sg 1 6 1.4.3 微分环节 理想的微分环节的微分方程为 （1.5） 其中t为微分时间常数。 对微分方程取拉氏变换后，可求得传递函数 （1.6） 理想的微分环节的方框图如图1.5所示 图 1.5 微分环节方框图 若输入为单位阶跃信号，即，则输出的单位阶跃响应为ttr1 （1.7） 这是一个面积为的脉冲，脉冲宽为零，幅值为无穷大，理想微分环节的输入和 输出如图1.6所示。 图 1.6 理想微分环节的单位阶跃响应 微分环节的特点是，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即输出反映了输入 信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。因此，可由微分环节的输出来反映输入 信号的变化趋势，加速系统控制作用的实现。常利用微分环节来改善系统的动态性能。 1.4.4 惯性环节 惯性环节的微分方程为 （1.8）)()( )( tkrtc dt tdc t 式中t为时间常数，k为比例系数。 dt tdr trc ts sr sc sg t dt tdr tc 7 惯性环节的传递函数为 （1.9） 1)( )( )( ts k sr sc sg 上式称为惯性环节的标准式。当时， s sr 1 )( sts k tc 1 1 )( 在单位阶跃信号作用下的相应为 （1.10）)1 ()( t t ektc 图1.7为k=1时，惯性环节的方框图。 图 1.7 惯性环节方框图 惯性环节的特点是，其输出量不能瞬时完成与输出量完全一致的变化。 1.4.5 时滞环节 时滞环节也称延迟环节，其数学表达式为 （1.11）)( 1)()(ttrtc 式中为延迟时间。 由此，可得传递函数 （1.12） s s e e sr sc sg 1 )( )( )( 时滞环节的方框图如图1.8。 图 1.8 时滞环节方框图 时滞环节的特点是，其输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。时滞环节的存 在对系统得稳定性不利。 系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的，与系统中采用的元件不是一一对 应的 分析或设计系统必先建立系统或被控对象的数学模型，将其与典型环节的数学模 型对比后，即可知其由什么样的典型环节组成。 8 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统，而且类型环节数 学模型是在一系列理想条件限制下建立的。 9 二、matlab 仿真软件的应用 2.1 matlab 的基本介绍 mtalab系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍。 (1)matalb语言体系：matlab是高层次的矩阵数组语言具有条件控制、函数 调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。利用它既可以进行小规模编 程，完成算法设计和算法实验的基本任务，也可以进行大规模编程，开发复杂的应用 程序。 (2)matlab工作环境：这是对matlab提供给用户使用的管理功能的总称包括管 理工作空间中的变量据输入输出的方式和方法，以及开发、调试、管理m文件的各种 工具。 (3)图形句相系统：这是matlab图形系统的基础，包括完成2d和3d数据图示、图 像处理、动画生成、图形显示等功能的高层matlab命令，也包括用户对图形图像等对 象进行特性控制的低层matlab命令，以及开发gui应用程序的各种工具。 (4)matlab数学函数库：这是对matlab使用的各种数学算法的总称包括各种初 等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。 (5)matlab应用程序接口(api)：这是matlab为用户提供的一个函数库，使得用户 能够在matlab环境中使用c程序或fortran程序，包括从matlab中调用于程序(动态链 接)，读写mat文件的功能。 可以看出matlab是一个功能十分强大的系统，是集数值 计算、图形管理、程序开发为一体的环境。除此之外，ma丁lab还具有根强的功能扩 展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱，以完成一些特定的任务。 matlab有几种在不同电脑作业系统的版本，例如在视窗3.1上的matlab for windows, simulink，在麦金塔上的matlab for macintch，另外还有在unix上的各种 工作站版本。基本上这些版本主要是提供方便的操作环境，采用图形介面。 2.2 matlab 的仿真 工具simulink matlab的simulink子库是一个建模、分析各种物理和数学系统的软件。由于在 windows界面下工作,所以对控制系统的方块图编辑、绘制很方便。 matlab命令窗口启动simulink程序后,出现的界面如下。 分别为信号源、输出、离散系统库、线性系统库、非线性系统库、系统连接及扩 10 展系统。下面分别介绍: （1）信号源 程序提供了八种信号源,分别为阶跃信号、正弦波信号、白噪声、时钟、常值信 号、文件、信号发生器等可直接使用。而信号发生器(singal gein)可产生正弦波、 方波、锯齿波、随机信号等。 （2）信号输出 程序提供了三种输出方式,可将仿真结果通过三种方式之一如仿真窗口、文件等 形式输出。 （3）离散系统 程序提供了五种标准模式,延迟、零-极点、滤波器、传递函数、状态空间等。并 且每种标准模式都可方便地改变参数以符合被仿真系统。 （4）线性系统 程序提供了七种标准模式,加法器、比例、积分器、微分、传递函数、零-极点、 状态空间等。同离散系统一样,每种标准模式都可方便地改变参数以符合被仿真系统。 （5）非线性系统 非线性系统库提供了十三种常用标准模式,如绝对值、乘法、函数、回环特性、 死区特性、斜率、继电器特性、饱和特性、开关特性等。 （6）系统连接 系统连接库提供了四种模式,输入、输出、多路转换等。 （7）系统扩展 考虑到各种复杂系统的要求,另外提供了十二种类型的扩展系统库,每一种又有不 同的选择模式。 2.3 控制系统的动态仿真 由于simulink提供了丰富的数学模型,且兼容于windows,所以用windows提供的简 单命令即形成各种复杂的系统模型。下面分别介绍。 连续系统 某一位置随动系统的方块图如下所示 11 图 2.1 传递函数图 根据simulink提供的方框图,转换为符合仿真要求的图形: 图 2.2 传递函数方块图 输入仿真时间、仿真步长,选择数值计算方法即得到系统的阶跃响应。 图 2.3 k4 系统阶跃响应 图 2.4 校正系统阶跃响应 如果系统的动态响应特性不好,可以调出扩展库中的各种调节器,以改善系统的动 态响应。比如引入典型的pid调节器,加入调节器后的系统响应如上图所示。 （2）非线性系统 某一带有死区的随动系统如下图所示。死区范围0.5,从系统的阶跃响应可以看 出,由于系统的非线性,使得原来无差系统变为有差系统,同样可以引入各种调节器来 校正系统,改善系统的动态响应。 12 图 2.5 非线性系统方框图 （3）离散系统 从离散系统库调出离散模型,得到系统的方框图和系统的阶跃响应如图所示。 图 2.6 离散系统图 图 2.7 非线性系统阶跃响应 图 2.8 离散系统阶跃响应 13 2.4 小结 matlab的simulink对控制系统可以方便地进行仿真计算,分析控制系统的瞬态响 应及稳态指标,同时仿真结果可以用图形和数据文件输出,数据文件可以在别的系统中 应用。不仅对单变量,而且对多变量及状态空间均可仿真计算,确实是一种方便、有效 的工具。 14 三、倒立摆系统及其数学模型 gip 系列倒立摆系统是固高科技有限公司为全方位满足各类电机拖动和自动控制 课程的教学需要而研制、开发的实验教学平台。gip 系列的主导产品由直线运动型、 旋转运动型和平面运动型三个子系列组成。直线运动倒立摆的基本模块为直线运动控 制模块，该模块由交流/直流伺服电机驱动滑动小车沿直线轴承滑动，完成定位控制 和速度跟踪的任务。在滑动小车上加装一个单摆系统，构成经典的控制教学产品：单 节倒立摆系统，可完成各类控制课程的教学实验，让学生具有一个可供实验验证的平 台。该系统可用测试、研究和开发各类新的控制算法。 3.1 系统组成 倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通pc机组成的控制平台 等三大部分。系统组成框图如图 3.1。 图 3.1 倒立摆系统框图 15 3.1.1 倒立摆的组成 小车由电机通过同 步带驱动在滑杆上来回 运动，保持摆杆平衡。 电机编码器和角编码器 向运动卡反馈小车和摆 杆位置（线位移和角位 移），如图3.2 。 3.1.2 电控箱 电控箱内安装有如下主要部件： 交流伺服驱动器 i/o 接口板 开关电源 开关、指示灯等电气元件 3.1.3 其它部件图 3.3 电气控制箱 电机 倒立摆使用的电机是由日本松下公司提供的小型小惯量电机（msma系列，200w）。 电机配有专门的驱动器。 编码器 倒立摆系统使用的是光电编码器，其工作原理是：利用一块特制的光栅板作为位 移检测元件，光栅板上方格之间的距离为0.5mm左右。编码器内部有一个发光元件和 两个聚焦透镜，发射光经过透镜聚焦后从底部的小孔向下射出，照在编码器下面的光 栅板上，再反射回编码器器内。当在光栅板上转动编码器时，由于光栅板上明暗相间 的条纹反射光有强弱变化，编码器内部将强弱变化的反射光变成电脉冲，对电脉冲进 行计数即可测出移动的距离。 控制卡 倒立摆还使用了由固高提供的控制卡，型号是gt-400-sv卡。sv卡的特点是输出 类型可以是模拟量或者是脉冲量，它还采用了pid滤波器，外加速度和加速度前馈。 通过调节，设置合适的参数，可提高控制系统的速度和精度。 图 3.2 一级倒立摆的模型示意图 fy 小车 m fx o 摆杆(2l,m) un(t) x 驱动 电机 角度 传感器 位置 传感器 导轨 g(xg ,yg) 16 3.1.4 倒立摆特性 虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模 型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性控制理论对其进行控制，倒立摆的 非线性控制正成为一个研究的热点。 不确定性 主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种 误差，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等 不确定因素。 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，倒立摆的控 制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 开环不稳定性 倒立摆的稳定状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直 向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。 约束限制 由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为制造方便和降低成 本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对于倒立摆的摆起尤为 突出，容易出现小车的撞边现象。 3.2 模型的建立 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上 加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测 的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选 取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象 的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态 关系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但 是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体 系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用 17 其中的牛顿欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。 3.2.1 微分方程的推导 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的 系统，如下图3.4所示 图3.4 直线一级倒立摆系统 我们不妨做以下假设： m小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、l摆杆转动轴心到杆质心的长度、i 摆 杆惯、f加在小车上的力、x 小车位置、摆杆与垂直向上方向的夹角、摆杆与垂 直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。 图3.5是系统中小车和摆杆的受力分析图。 其中， n 和 p 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实 际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所 示，图示方向为矢量正方向： 图3.5 （a）小车隔离受力图 （b）摆杆隔离受力图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （3.1） nxbfxm& 18 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： sin1 2 2 l k d mn 即 ： （3.2）sincos 2 & &mlmlxmn 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： （3.3）fmlmxbxmmsincos 2 & & 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以 得到下面方程： 即： (3.4)cos 2 2 l dt d mmgpcossin 2 & mlmlmgp 力矩平衡方程如下： (3.5) & inlplcossin 方程中力矩的方向，由于，故等式前面有负sinsin,coscos, 号。合并这两个方程，约去p和n，得到第二个运动方程： (3.6)cossin 2 xmlmglmli& & 设（ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即1，则可以进行近似处理： 。用 u 代表被控对象的输入力f ，线性化后两个运动方程如下： (3.7) umlxbxmm xmlmglmli & & & & 2 3.2.2 传递函数 对方程组(3.7)进行拉普拉斯变换，得到 (3.8) sussmlssbxssxmm ssmlxsmglssmli 22 222 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度，求解方程组(3.8)的第一个方程，可以得到： 0,sin, 1cos 2 dt d 19 (3.9) s s g ml mli sx 2 2 )( 把上式代入方程组(3.8)的第二个方程，得到： sussmlss s g ml mli bss s g ml mli mm 2 2 2 2 2 (3.10) 整理后得到传递函数： (3.11) s q bmgl s q mglmm s q mlib s s q ml su s 23 2 4 2 其中： 2 2 mlmlimmq 3.2.3 状态空间结构方程 系统状态空间方程为 (3.12) dncxy buaxx & 方程组（3.12）对解代数方程，得到解如下：& & & &, x u mmlmmi ml mmlmmi mmmgl x mmlmmi mlb u mmlmmi mli mmlmmi glm x mmlmmi bmli x xx 222 2 2 2 22 2 2 )()( )( & & & & & (3.13) 整理后得到系统状态空间方程： 20 2 2 22 2 22 2 22 0100 0 00 00001 00 imlb xximlm gl i mmmmlxxi mmmmli mm mml u ml mgl mm mlb i mmmml i mmmmli mmmml & & & & & & （3.14） （3.15）u x x x y 0 0 0000 0001 & & 由公式(3.7)的第一个方程为： (3.16)xmlmglmli& & 2 对于质量均匀分布的摆杆有： (3.17) 2 3 1 mli 于是可以得到： (3.18)xmlmglmlml& & 22 3 1 化简得到： (3.19)x ll g & & 4 3 4 3 设，则有：xuxxx& & &, (3.20) u x x x y u l x x l g x x & & & & & & & & & & 0 0 0100 0001 4 3 0 1 0 0 4 3 00 1000 0000 0010 实际的系统模型如下： m 小车质量 0.5 kg 21 m 摆杆质量 0.2 kg b 小车摩擦系数 0 .1n/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m i 摆杆惯量 0.006 kg*m*m t 采样频率 0.005秒 注意：在进行实际系统的matlab仿真时，我们将采样频率改为实际系统的采样频 率。我们的在实际操作中自行检查系统参数是否与实际系统相符，否则的改用实际参 数进行实验。 3.2.4 实际系统模型 把上述参数代入，可以得到系统的实际模型 摆杆角度和小车位移的传递函数： (3.21) 26705 . 0 0102125 . 0 0275 . 0 2 2 s s sx s 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： (3.22) 26705 . 0 0102125 . 0 02725 . 0 2 ssv s 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： (3.23) 30942 . 2 9169.270883167 . 0 35655 . 2 23 sss s su s 以外界作用力作为输入的系统状态方程： (3.24) u x x x y u x x x x & & & & & & & & & & 0 0 0100 0001 35655. 2 0 883167. 0 0 08285.27225655. 00 1000 0629317 . 0 0883167 . 0 0 0010 以小车加速度作为输入的系统状态方程： 22 u x x x x & & & & & & & 3 0 1 0 0 4 . 2900 1000 0000 0010 （3.25）u x x x y& & & 0 0 0100 0001 需要说明的是，在固高科技所有提供的控制器设计和程序中，采用的都是以小车 的加速度作为系统的输入，如果、用户需要采用力矩控制的方法，可以参考以上把外 界作用力作为输入的各式。 3.2.5 采用 matlab 语句形式进行仿真 图3.6 仿真程序如图3.6所示 23 可得仿真曲线和结果如图3.7和3.8所示 图 3.7 系统数学模型仿真曲线 图 3.8 系统仿真系数 24 四、 pid 控制理论 4.1 pid 控制概述 在工业自动化设备中，常采用由比例、积分、微分控制策略形成的校正装置作为 系统的控制器。 自从计算机进入控制领域以来，用数字计算机代替模拟计算机调节 器组成计算机控制系统，不仅可以用软件实现pid控制算法，而且可以利用计算机的 逻辑功能，使pid控制更加灵活。数字pid控制在生产过程中是一种最为普遍的控制方 法，将偏差的比例、积分、和微分通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制， 故称为pid控制器。 当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、 比较和执行。测量关心的变量，与期望值相比较，用这个误差纠正调节控制系统的响 应。 这个理论和应用自动控制的关键是，做出正确的测量和比较后，如何才能更好地 纠正系统。pid（比例-积分-微分）控制作为最早实用化的控制器已有70多年历史， 现在仍然是应用最广泛的工业控制器。pid控制简单易懂，使用中不需精确的系统模 型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。 pid控制由比例单元（p）、积分单元（i）和微分单元（d）组成。其输入e (t) 与输出u (t)的关系为 (4.1) 因此它的传递函数为： (4.2) 它由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数（kp， ki和kd）即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个 单元，但比例控制单元是必不可少的。 pid控制之所以广泛使用： 首先，pid应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过简化可以 变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样pid就可控制了。 其次，pid参数较易整定。也就是，pid参数kp，ki和kd可以根据过程的动态特性 及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化， pid参数就可重新整定。 dt tde kdektektu d t ip 0 )( d i p k s k k se su sg 0 25 第三，pid控制在实践中也不断的得到改进，下面两个改进的例子。 在工厂，总是能看到许多回路都处于手动状态，原因是很难让过程在“自动”模 式下平稳工作。由于这些不足，采用pid的工业控制系统总是受产品质量、安全、产 量和能源浪费等问题的困扰。pid参数自整定就是为了处理pid参数整定这个问题而产 生的。现在，自动整定或自身整定的pid控制已是商业单回路控制器和分散控制系统 的一个标准。 在一些情况下针对特定的系统设计的pid控制控制得很好，但它们仍存在一些问 题需要解决： 如果自整定要以模型为基础，为了pid参数的重新整定在线寻找和保持好过程模 型是较难的。闭环工作时，要求在过程中插入一个测试信号。这个方法会引起扰动， 所以基于模型的pid参数自整定在工业应用不是太好。 如果自整定是基于控制律的，经常难以把由负载干扰引起的影响和过程动态特性 变化引起的影响区分开来，因此受到干扰的影响控制器会产生超调，产生一个不必要 的自适应转换。另外，由于基于控制律的系统没有成熟的稳定性分析方法，参数整定 可靠与否存在很多问题。 因此，许多自身整定参数的pid控制经常工作在自动整定模式而不是连续的自身 整定模式。自动整定通常是指根据开环状态确定的简单过程模型自动计算pid参数。 但仍不可否认pid也有其固有的缺点： pid在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，工作地不是 太好。最重要的是，如果pid控制器不能控制复杂过程，无论怎么调参数都没用。 虽然有这些缺点，pid控制是最简单的有时却是最好的控制方法8。 4.2 pid 的控制规律 pid控制就是对偏差信号进行比例、积分、微分运算后，形成的一种控制规 )(te 律。 在模拟控制系统中,控制器最常用的控制规律是pid控制。模拟pid控制系统原理 框图如图4.1所示。系统由模拟pid控制器和被控对象组成。 26 图 4.1 模拟 pid 控制系统原理框图 pid 控制器是一种线性控制器，它根据给定值 rin(t)与实际输出值 yout(t) 构成控制偏差 error(t)=rin(t)-yout(t) pid 的控制规律为： (4.3) 也可以写成传递函数的形式 (4.4) 其中，比例系数，积分时间常数；微分时间常数。 pk i t d t 简单的说来，pid控制器各校正环节的作用如下： 比例环节：成比例的反映控制系统的偏差信号error(t)，偏差一旦产生，控制 器立即产生控制作用，以减少偏差。 积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积 分时间常数，越大，积分作用越弱，反之越强。 i t i t 微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号变的太大 之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节 时间。 4.3 数字 pid 控制 计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。因此， 连续pid 控制算法不能直接使用，需要采用离散化方法。 ) 1 1( )( )( )(st st k se su sg d i p t d i p dt tderrort dtterror t terrorktu 0 )( )( 1 )()( 27 t kerrorkerror t tkerrorkterror dt tderror jerrortjterrortdtterror kktt t k j k j 11 .2 , 1 , 0 0 00 4.3.1 位置式 pid 控制算法 按模拟pid控制算法，以一系列的采样时刻点kt代表连续时间t，以矩形法数值积 分近似代替积分，以一阶后向差分近似代替微分，即： (4.5) 可以得到离散 pid 表达式： (4.6) 式中，t为采样周期，k为采样序号，k=1，2，error(k-1)和error(k)分别为第 (k-1)和第k时刻所得的偏差信号。 位置式pid控制系统如下图4.2所示： 图 4.2 位置式 pid 控制系统 上述pid控制算法的缺点是：由于采用全量输出，所以每次输出均与过去的状态 有关，计算时要对error(k)量进行累加，计算机输出控制量u(k)对应的是执行机构的 实际位置偏差，如果位置传感器出现故障，u(k)可能会出现大幅度的变化。u(k)的大 幅度变化会引起执行机构位置的大幅度变化，这种情况是在实际生产中不允许的，在 某些场合还可能造成重大事故。为避免这种情况的发生，可以采用增量式pid控制算 法。 k j djp k j d i p t kerrorkerror ktjerrorkkerrork kerrorkerror t t jerror t t kerrorkku 0 0 1 1 dpd i p i tkk t k k, 28 4.3.2 增量式 pid 控制算法 当执行机构需要的是控制量的增量（例如驱动步进电机）时，应采用增量式pid 控制。根据递推原理可以得到： (4.7) k j dip kerrorkerrorkjerrorkkerrorkku 0 111 增量式 pid 控制算法： 由于 2121kerrorkerrorkerrorkkerrorkkerrorkerrorkku dip 控制算法中不需要累加，控制增量u(k)仅与最近k次的采样有关，所以误动作时影 响小，而且较为容易的通过加权处理获的比较好的控制效果。 在计算机控制系统中，pid控制是通过计算机程序来实现的，因此它的灵活性很 大。一些原来在模拟pid控制器中无法实现的问题，在引入计算机以后，就可以得到 解决，于是产生了一系列的改进算法，形成非标准的控制算法，以改善系统的品质， 满足不同的控制系统的需要。 4.4 常用的 pid 控制系统 单回路pid控制系统 系统中只有一个pid控制器,如图4.3所示. 图 4.3 单回路 pid 控制系统 4.4.1 串级 pid 控制 串级计算机控制系统的典型结构如图4.4所示， 图 4.4 串级控制系统框图 29 系统中有两个pid控制器，称为副调节传递函数，包围的内环节称 sgc2 sgc2 为副回路。称为主调节器传递函数，包围的外环称为主回路。主调节器 sgc1 sgc1 的输出控制量作为副回路的给定量。 1 u sr2 串级控制系统的计算顺序是先主回路(pid1)，后副回路(pid2)。控制方式有两种： 一种是异步采样控制，即主回路的采样控制周期是副回路采样控制周期的整数倍。 1 t 2 t 这是因为一般串级控制系统中主控对象的响应速度慢、副控对象的响应速度快的缘故。 另一种是同步采样控制，即主、副回路的采样控制周期相同。这时应根据副回路选择 采样周期，因为副回路的受控对象的响应速度较快。 串级控制的主要优点： 将干扰加到副回路中，由副回路控制对其进行抑制； 副回路中参数的变化，由副回路给予控制，对被控量的影响大为减弱； 1c g 副回路的惯性由副回路给予调节，因而提高了整个系统的响应速度。 副回路是串级系统设计的关键。副回路设计的方式有很多种，下面介绍按预期闭 环特性设计副调节器的设计方法。 由副回路框图可得到副回路闭环系统的传递函数为 (4.8) 可得副调节器控制规律 (4.9) 4.4.2 pid 控制原理的特点 pid控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制 的。 比例（p）控制 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误 差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（steady-state error）。 积分（i）控制 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关 系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有 稳态误差的或简称有差系统（system with steady-state error）。为了消除稳态误 zgzg zgzg zu zy z c c 22 22 1 2 2 1 zzg z zgc 22 2 2 1 30 差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的 增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它 推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，比例+积分(pi) 控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。 微分（d）控制 在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差 的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至 失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后(delay)组件，具有抑制 误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化 “超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中 仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增 加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就 能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。 所以对有较大惯