科创职业学院应用数学教案偏导数在几何上的应用.ppt

12.5 偏导数在几何中的应用 首页上页返回下页结束 1.参数方程: 回顾及定义 空间曲线的表示与光滑曲线 其向量形式: 光滑曲线 . 首页上页返回下页结束 空间曲线的一般方程 相应光滑性要求其Jacobi 矩阵是满秩的. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 2、空间曲线的一般方程 首页上页返回下页结束 直线的两点式方程 直线的对称式方程 点向式方程 标准方程 空间直线的一般方程 首页上页返回下页结束 平面的点法式方程 其中法矢量已知点 平面的一般方程 平面的截距式方程 平面的三点式方程 首页上页返回下页结束 设空间曲线的方程 一、空间曲线的切线与法平面 首页上页返回下页结束 考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 首页上页返回下页结束 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 首页上页返回下页结束 解 切线方程 法平面方程 首页上页返回下页结束 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 首页上页返回下页结束 2.空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 implicit 首页上页返回下页结束 另一方面,注意到 定理12.5.1 曲线在 点的法平面就是 由梯度向量grad F( ) 和grad G( ) 张成的过 的平面 . (P192) 首页上页返回下页结束 首页上页返回下页结束 所求切线方程为 法平面方程为 首页上页返回下页结束 首页上页返回下页结束 设曲面方程为 二、曲面的切平面与法线 其中F在D上有连续偏导数， 且满足 即曲面S是光滑的. 考察曲面S过点 的任意一条光滑曲线 首页上页返回下页结束 此表明曲面S上过 的任一光滑曲线在 点的切 线都与向量 垂直，所以 这些切线都在一张平面上 . 平面称为曲面S在点 的切平面 ，它的法向量 称为S在 点的法向量. 由于曲线 在曲面S上,因此 曲面在 处的法向量: 首页上页返回下页结束 法线方程为 切平面方程为 通过点 而垂直于切平面的直线 称为为曲面在该该点的法线线. 首页上页返回下页结束 特殊地：空间曲面方程形为 曲面在 处的切平面方程为 曲面在 处的法线方程为 令 首页上页返回下页结束 切平面 上点的 竖坐标 的增量 因为曲面在 处的切平面方程为 首页上页返回下页结束 解 切平面方程为 法线方程为 首页上页返回下页结束 解 令 切平面方程 法线方程 首页上页返回下页结束 解设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 首页上页返回下页结束 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 首页上页返回下页结束 首页上页返回下页结束 S在 点的法向量（c.f. P198） 切平面方程为 法线方程 首页上页返回下页结束 例12.5.4 求曲面 例12.5.5 已知曲面 例12.5.6 证明两球面 两曲线交点处的夹角; 两曲面交线上一点处的 夹角; 两曲面正交. 首页上页返回下页结束 空间曲线的切线与法平面（关键在切向量） （直线：点向式；平面：点法式） 三、小结 特殊地： 首页上页返回下页结束 曲面的切平面与法线(关键在法向量) 首页上页返回下页结束 思考题 首页上页返回下页结束 思考题解答 设切点 依题意知法矢量为 切点满足曲面和平面方程 首页上页返回下页结束 隐函数的求导公式 附录：隐函数存在唯一性定理及求导法则 首页上页返回下页结束 首页上页返回下页结束 首页上页返回下页结束 另外,反函数组见P185定理12.4.5. return 首页上页返回下页结束 设曲面方程为 附录:曲面的切平面 . , 0 . . 为切点处的切平面，在点为平面 则称时，恒有上以任何方式趋近于在当 若和的距离分别为 和平面到定点点 上的一个动曲面平面 的一个为过一点， 上的为曲面定义：设 PPS d h PSQ hd PQ S P SP P P P 首页上页返回下页结束 参看华东师范大学数学分析（下）(第2版)P146 首页上页返回下页结束