弹性力学最小势能.ppt

弹性力学最小势能原理 魏淑强 （同济大学土木工程学院上海200092） 摘要：处于稳定平衡状态的弹性体，真实的位移使弹性 体的总势能取最小值，这就是最小势能原理 关键词：最小势能原理；虚功原理；弹性力学 中图分类号：O343文献标识码：A文章编号：1674- 4896（2008）02-0116-02 最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时 ，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来说，一个 小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时， 系统就会趋向于稳定平衡。 势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇 宙万物，如果其势能未达到“最小”（局部概念）， 它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。举个 例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有 正的势能（非最小），因而它总有向地面运动的“ 能力”（向地面“跃迁”，其力学本质是它处于一种不 稳平衡状态）。因此，它试图（也只有）向下运动 ，才能保证其达到一个相对平稳的状态。 最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的 特殊情况。对于一般性问题：真实位移状态使结构 的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中 取最小值。 形象地说，当你在一百米高的钢丝绳上走的时 候你总是希望尽早回到地上，但其实只要你不动你 也是平衡的，因为驻值也可以是极大值（此时称为 随遇平衡）。而当你在一百米高的大楼里的办公室 里时，你并不害怕，因为周围的物体的势能均不比 你小，此时驻值取的是极小值而不是最小值。 1.根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原 理 设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能 密度函数的一阶变分为 上式推导中，应用了格林公式 将上式代入虚功方程，则 上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。 定义外力势能为 注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移 过程中外力保持不变，即变分与外力无关。而且积 分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能 的一阶变分可以写作 回代可得 其中Et 称为总势能，它是应变分量的泛函。 由于应变分量通过几何方程可以用位移分量 表示，所以总势能又是位移分量的泛函。 公式表明，在所有几何可能的位移中，真实 位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因 此真实位移使总势能取驻值。 2 以下证明：对于弹性体的稳定平衡状态， 总势能将取最小值 将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可 以得到几何可能位移对应的总势能 将上式减去真实应变分量的总势能，可得 将 按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小 量，有 有 回代可得 由于总势能的一阶变分为零，因此 总势能的二阶变分为 由于 由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有 的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是 大于零的，因此 所以 以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移 场的总势能取最小值。所以这一原理称最小势能 原理。数学描述即总势能的一阶为零，而且二阶 变分是正定的（大于零）。 必须强调指出的是，真实位移与其他的可能位 移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，所以 说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件。 通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡 微分方程和面力边界条件，这和虚功原理是相同 的，即最小势能原理也等价于平衡微分方程和面 力边界条件。 虚功原理和最小势能原理之间的差别在于：虚 功原理不涉及本构关系，适用于任何材料，只要 满足小变形条件；最小势能原理除了小变形条件 之外，还需要满足应变能密度函数表达的本构关 系，因此仅限于线性和非线性弹性体。 3 结论 最后，将最小势能原理完整的叙述为：在所有 几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值 。该方法是以位移函数作为基本未知量求解弹性 力学问题的。当然，选择的位移函数必须是在位 移已知的边界上满足位移边界条件，对于面力边 界是不需要考虑的，因为面力边界条件是会自动 满足的。 参考文献： 1 徐芝纶.弹性力学简明教程(第三版)M. 北京：高 等教育出版社，2002. 2 吴家龙.弹性力学M. 上海：同济大学出版社， 1987. 3 徐建平. 变分方法M. 上海：同济大学出版社， 1999. 4 胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用M. 北京 ：科学出版社，1981. 5 李遇春.弹性力学课件CP/DK. 上海： 同济大学 结构工程与防灾研究所. Principle of Minimum Potential Energy in Theory of Elasticity Wei Shuqiang （Civil Engineering College of TongjiUniversity,Shanghai 200092） Abstract:The elastomer at the equilibri um condition,the actual displacement makes a minimum of the total potentialenergy for the elastomer;this is the minimum pot