建筑力学第五章静定结构位移计算.ppt

第五章 静定结构的位移计算 一、位移的概念 C P AB C 结构上某点位置的改变称为 位移，结构的位移有两大类 ：线位移和角位移。 截面的移动称为线位移；截 面的转动称为角位移。 计算位移的目的 1、校核结构的刚度，保证 结构的正常使用。 2、为超静定结构的内力计 算打下基础。 产生位移的主要因素 （1）荷载作用； （2）温度变化和材料胀缩； （3）支座沉降和制造误差。 1 虚功和虚功原理 功、广义力、广义位移 物理上定义：W = FS F集中力；S线位移 现在将此式的定义扩大： W = P 式中： W广义功； P广义力； 与P相应的广义位移 功的正负号规定：当力P与相应位移方向一致时，功为正 ；两者方向相反时，功为负。 虚功 1、 定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为 虚功。 其它因素一般指温度变化、支座的移动或另外的荷载等。 二、位移计算的一般公式 2 虚功的表达式： W = P 注意： （1）力P与位移必须是相应的。 （2）力P与位移是互相独立，彼此无关的，即无因果 关系。 （3）虚功的正负号规定与前面相同。 P1 AB P2 1 2 3 虚功：W = P12 “虚”字是强调位移和做功的力无关的特点！ 3 变形体体系的虚功原理 变形体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有外力 在体系几何可能位移和变形上所作的虚功恒等于体系上所 有内力所作的虚功。 W外= W内 即： 4 单位荷载法 虚拟单位荷载的建立 (1) 欲求A点的水平线位移时，在A点沿水平方向加一单位集 中力如图(b)所示； (2) 欲求A点的角位移，在A点加一单位力偶如图(c)所示； (3) 欲求A、B两点的相对线位移，在A、B两点沿AB连线方 向加一对反向的单位集中力，如图(d)所示； (4) 欲求A、B两截面的相对角位移，在A、B两截面处加一对 反向的单位力偶，如图(e)所示。 5 位移状态（实际） C C P 力状态（虚设） 如果在需求位移处沿位移方向虚设一个相应的单位力 P=1 ，由虚功原理可得： = 1 正负号规定：当力和位移方向一致时，乘积为正，反之 为负。所以，由上式求得的如果是正值，说明位移的方向 与所设单位荷载方向一致；反之，则相反。 结构位移计算的一般公式 6 如果结构只有荷载作用，因支座位移为零，则可得 由材料力学公式，实际荷载下杆件内力MP、FQP、 FNP作用下所引起的相应变形d、d、d分别为： 7 1、荷载作用下位移的计算公式 M, FQ, FN 虚设单位荷载引起的内力 MP , FQP , FNP 实际荷载引起的内力 k 剪力不均匀系数 正负号规定： 轴力 以拉力为正 剪力 以顺转 为正 弯矩 只规定乘积的正负号，同侧受拉时乘积MPM取正 ，反之为负。 8 2、各类结构的位移计算公式 1、梁和刚架2、桁架 3、组合结构 （梁式杆）（链杆） 9 荷载作用下位移计算的步骤 1、沿需求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载； 2、根据静力平衡条件，列出在单位荷载作用下各杆段内力 方程； 3、列出实际荷载作用下各杆段内力方程； 4、将各内力方程分别代入公式，分段积分后再求和即可计 算出所求位移。 10 四、图乘法求静定结构的位移 1）图乘法的应用条件 1、杆件为直杆； 2、各杆段的EI分别等于常数； 3、M、MP图中至少有一个是直线图形。 2）图乘法的计算公式 = i yi EI 为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积 y为面积为的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐 标，即y必须在直线图上量取。 公式正负号规定：若与y 在杆件的同一侧时，乘积取正值， 反之，则取负值。 A B A B y 形心 1、图乘法公式 11 3）几种常见图形的面积和形心位置 注意：在应用抛物线图形公式时，必须为标准抛 物线，即顶点在中点或端点的抛物线。 顶点指其切线平行于底边的点，即在顶点处Q = 0。 顶点 顶点 顶点 12 2、图乘分段和叠加 1、分段 （1）一个图形是曲线，另一个图形是由直线组成的折线， 则应分段计算。如： 1 2 3 y3 y1 y2 （2）杆件各段有不同的EI，则应在EI变化处分段，分段进 行图乘。如： EI1 EI2 EI1 EI2 11 y1y2 13 2、叠加 在图形的面积的计算或形心位置的确定比较复杂时， 可将复杂图形分解为计算简单的图形，叠加计算。 （1）两个图形都是梯形 a b cd 1 2 y1y2 14 （2）当弯矩图为非标准抛物线时，要将图形分解成 两个简单图形分别计算，再叠加。例如： qL2/8 AB MBA MAB AB MBA MAB A B qL2/8 AB 15 例1：试用图乘法计算如图所 示简支梁跨中截面C的竖向位 移C和B端的角位移B。EI为 常数。 AB C q L /2L /2 解：1、计算C A B C qL2/8 MP图 C A B M图 P = 1 L /4 1 EI 1 = 2 ( 2 3 L 2 1 8 qL2 5 8 L 4 ) = 5qL4 384EI 2、计算B A BM图 m = 1 1 EI 1 B = ( 2 3 1 8 qL2 1 2 ) L = qL3 24EI y1 y2 16 例2：计算图示悬臂刚架在C点作用荷载时，梁中点D的挠度。 EI为常数 P L A BC L D P=1 A B C D 解：1、在D点设单位竖向力 2、作Mp图和M图 PL PL PL P A B C MP图 M图 3、图乘法计算 2 1 y2 y1 17 例3：求图示刚架C截面的竖向位移C 。EI为常数 10kN/m A B C 6m 6m 20kN 300 45 300 A B C MP图（kNm) A B C M图（m) P = 1 6 6 解：作MP图和M图 EI 1 = ( 3006 )6 1 2 3006 )4 ( 4 3 2 3 456 ) 3 ( EI 1 EI 13860 kNm3 = 6 18 五、梁的位移及刚度校核 1、 梁的位移 挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用w 表示，规定w 向下为正。 转角： 横截面的角位移 ，规定顺时针转为正 19 在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算 结果（如表所示），可供计算时查用。 表 梁的挠度与转角公式 2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端 1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端 最大挠度转角荷载类型 20 续表 时 4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上 3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上 时 21 6简支梁 弯曲力偶作用在梁的一端 5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上 - （在处） 续表 - 22 2梁的刚度校核 梁的位移过大，则不能正常工作 对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长 之比为标准 在工程上，吊车梁的 1/600 铁路钢桁梁的 1/900 梁的刚度条件为: 23 例：图示简支梁由工字钢制成， 跨度中点处承受 集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度l=3m ，许用应 力 =160MPa，许用挠度w= l/500，弹性模量 E=2105MPa ，试选择工字钢的型号。 24 解 （1）按强度条件选择工字钢型号 梁的最大弯矩为： 按弯曲正应力强度条件选截面 25 查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为 237cm3，惯性矩I=2370cm4 （2）校核梁的刚度 =4.75mm= 梁的刚度足够 所以，选用20a工字钢 26 3、提高梁抗弯刚度的措施 梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨度 L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗 弯刚度可以采取以下措施： (1) 增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。 在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形 状，可提高惯性矩I 。 27 （2）减小梁的跨度L 梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小 梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提 高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用 两种办法减小L 值： 增加中间支座 而 28 两端支座内移 如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁， 一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另 一方面在梁外伸部分的荷载