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文档简介

空间直线的方向向量 和平面的法向量 一、空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，把与直线l 平行的非零向量 叫做直线l的一个 方向向量。 x y z O l 1、定义 注： 1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。 2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。 A(x1,y1,z1) B (x2,y2,z2) 可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。 2、方向向量的求法 x y z O l 均是直线l的方向向量 例1、如图所示，已知长方体AC1中 ，AA1=4，AB=5,BC=3,写出下列直 线的一个方向向量。 x y z AB C D A1 B1 C1 D1 4 5 3 与坐标轴平行或重合的直线的 方向向量的坐标有何特征？ 与坐标平面平行（与坐标轴不平行）的 直线的方向向量的坐标有何特征？ x,y,z中有两个为0 x,y,z中有一个为0 例2、已知正四面体P-ABC的棱长 为a,试建立合适的空间直角 坐标系，并确定各棱所在直 线的一个方向向量。 D A B C P E a y x z 练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。 DA B C A1 B1 C1 1 3 y x z 二、平面的法向量 1、定义 对于非零的空间向量 ，如果它所在 的直线与平面垂直，那么向量 叫做 平面的一个法向量。 注： 1、一个平面有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。 2、一个平面的法向量也是所有与 平面平行的平面的法向量。 2、法向量的求法待定系数法 (1)(设):设出平面法向量的坐标为 (2)(列):根据 ，列出方程组； (3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量 (4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好), 则得到平面法向量 的坐标。 例1、已知点A(1,1,2),B(3,3,3), C(5,6,5), 求平面ABC的单位法向量。 例2、如图所示，已知长方体AC1中 ，AA1=4，AB=5,BC=3,求下列平面 的一个法向量： x y z AB C D A1 B1 C1 D1 4 5 3 (1)平面ABCD (2)平面AA1C1C (3)平面A1DC1 与坐标轴垂直的平面的法向量的坐标有何特征？ 练习1：如图所示，在棱长为2的 正方体中,E是平面ABCD的中心, 求平面EA1D1的法向量。 AB C D x y z E x （1，-1，0 ） （1，1，-2） （1，-2，2 ） （-1，1，2 ） 练习2:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是BB1的中点, 求下列平面
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