大学物理第五章刚体力学2.ppt

5.5 转动中的功和能 一、力矩的功 d z x 轴 r F 称为力矩的功 力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积 。 二、刚体定轴转动的动能定理 由定轴转动 的转动定律 : 两边乘以d 再同时积分有: 合外力矩对刚体做的功 刚体的转动动能 上式即为： 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于刚体的转动动能的增量。这个结论称 为定轴转动的动能定理。 三、刚体的重力势能 一个质元：h hi hc x O m C mi 整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的 全部质量都集中在质心时所具有的势能。 四、定轴转动的功能原理与机械能守恒 对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有 保守内力作功,则此系统的机械能守恒。 质点系功能原理对刚体仍成立： 若A外+ A非保内=0 则Ek +Ep =常量。 例 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有 一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动 。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的 角速度。 O mg 用功能定理重解该题 取起始位置为零势能参考点 ？棒端A的速度 。 例2.已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止， 轴光滑， AO l = 4 求:杆下摆角后，角速度 =? 初始： 令 末态： 则： (1) 解：杆+地球系统， 只有重力作功， E守恒。 由平行轴定理 (2) 由（1）、（2）得 典例4一个质量为M半径为R的匀质球壳可 绕一光滑竖直中心轴转动。轻绳绕在球壳 的水平最大圆周上，又跨过一质量为m半径 为r的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴， 然后在下端系一质量也为m的物体，如图。 求当物体由静止下落h时的速度v。 机械能守恒 对球壳、圆盘、物体和地球组成的系统，无外力做 功，非保守的内力即绳子的张力所做总功为零，所 以机械能守恒。的初始高度作为势能零点，有 此题的实用意义，测出物体下落高度h时的速度，可 计算处于球壳位置上任意不规则物体的转动惯量。 6 对定轴的角动量守恒 一、质点系定轴转动的角动量定理 冲量矩 左边为对某个固定轴 的外力矩的作用在某 段时间内的积累效果 ，称为冲量矩； 右边为质点系对 同一转动轴的角 动量的增量。 质点系定轴转动的角动量守恒 当 M=0 时，定轴转动： 二、对定轴的角动量守恒定理 对于一个质点系，如果它受的对于某一固定轴 的合外力矩为零，则他对于这一固定轴的角动 量保持不变-对定轴的角动量守恒定律 讨论 1、上述结论对质点系适用，质点系可以不 是刚体，其中的质点也可以组成一个或多 个刚体 2、一个系统内的各个刚体或质点的角动量 必须是对于同一个固定轴而言 由多个刚 体组成的 刚体体系 M=0的原因，可能: 1）F0（不受 外力）；2）外力作用于转轴上;3）外 力作用线通过转轴；4）外力作用线与 转轴平行。 对定轴转动均没有作用，则质点系对 此轴的角动量守恒。 演示 茹可夫斯基凳 花样滑冰 跳水 体操 m m 第5章结束 角动量守恒的另一类现象 角动量守恒一类现象 变小则变大，乘积保持不变，变大则 变小 。 收臂 大 小 用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩 张臂 大 小 花样滑冰中常见的例子 角动量守恒的一类现象 变小则变大，乘积保持不变 ， 变大则变小 。 收臂 大 小 用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩 张臂 大 小 花 样 滑 冰 收臂 大 小 张臂 大 小 先使自己 转动起来 收臂 大 小 共轴系统的角动量守恒 共轴系统若外则恒矢量 轮、转台与人系统 轮 人台 初态全静 初 人沿某一转 向拨动轮子 轮 末态 人台 轮轮 末 人台人台 初 得人台人台 轮轮 导致人台 反向转动 直升飞机防旋措施 直升飞机防止机身旋动的措施 用两个对 转的顶浆 （支奴干 CH47) 用 尾 浆 （美洲豹 SA300） （ 海豚 ） 回转仪定向原理 万 向 支 架 受合外力矩为零 回转体质量呈轴对称分布； 轴摩擦及空气阻力很小。 角动量守恒 恒矢量 回转仪定向原理 其中转动惯量 为常量 若将回转体转轴指向任一方向 使其以角速度 高速旋转 则转轴将保持该方向不变 而不会受基座改向的影响 基 座 回转体 （转动惯量 ） 直线运动与定轴转动规律对照 质点的直线运动刚体的定轴转动 定轴转动刚体的角动量守恒定律 例1：一个人站在有光滑固定转轴的转动 平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在 该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程 中,人、哑铃与转动平台组成的系统的 C （A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒; （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒. 例2、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度 射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损 失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长 为l,质量为M. v0vm M 解 : 1)子弹和棒的动量守恒吗?为什么? 2)角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写? 例3 、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在 同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆 自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状 态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直 杆下端达到的高度h。 c hc h h=3h0/2 b a m l ho l 解:碰撞前单摆摆锤的速度为 令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v。 由角动量守恒，有 在弹性碰撞过程中动能也是守恒的: 二式联立解得： 按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为 而杆的质心达到的高度满足 由此得 典例3.长为l质量m为匀质 细杆可绕通过其上端的水 平固定轴O转动，另一质量 也为m的小球，用长为l的 轻绳系于O轴上，如图。开 始时杆静止在竖直位置， 现将小球在垂直于轴的平 面内拉开一定角度，然后 使其自由摆下与杆端发生 弹性碰撞，结果使杆的最 大摆角为/3，求小球最 初被拉开的角度。 思路同上 在小球下落过程中，对小球与地球系统，只有重力 做功，所以机械能守恒，设小球碰前速度为v，有 在碰撞过程中对轴的角动量守恒，动能守恒 碰后杆上升过程，杆与地球系统的机械能守恒 例4、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的 转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一 个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。 啮合后整个系统的角速度w = . (1/3)w0 利用J1wo=(J1+2J1)w 例5. 质量为m 的小孩站在半径为R、转动惯量 为 J 的可以自由转动的水平平台边缘上 (平台 可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动).平台 和小孩开始时均静止. 当小孩突然以相对地面 为 v 的速率沿台边缘逆时针走动时,则此平台 相对地面旋转的角速度 为 0=mRv+J =- mRv/J 以逆时针方向为转动正方向 顺时针方向 人沿台边缘行走一周，所花时间？ 有一转台，质量为M半径为R可绕光滑竖直 中心轴转动，初始角速度为 一质量为m 的人站在转台中心。若人相对转台以恒定 速率u沿半径向边缘走去，求人走了时间t 后，转台的角速度 及转过的角度 习题指导P39 典型例题5 解：在人走动过程中，人和转台组成的系统不受对竖直 轴的外力矩，因此角动量守恒，设时间t时，人走到距 轴为rut处，人看作质点，转动惯量为mr2 。 1.两个均质圆盘 A 和 B 的密度分别为 A和 B ，若 A B ，但两圆盘的质量与厚度相同，如 两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为 JA和 JB，则 （A）JAJB （B）JBJA（C）JA=JB （D）JA、JB哪个大，不能确定。 B 课堂练习 两个半径相同，质量相等的细圆环A和B。A环的质量分 布均匀，B环的质量分布不均匀。它们对通过环心并与 环面垂直的轴的转动惯量分别为JA、JB，比较其大小 2.均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而与棒 垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示.今 使棒从水平位置由静止开始自由下落,在 棒摆动到竖直位置的过程中,下列情况哪 一种说法是正确的? (D) 角速度从大到小,角加速度从小到大. (C) 角速度从大到小,角加速度从大到小. (B) 角速度从小到大, 角加速度从小到大. (A) 角速度从小到大, 角加速度从大到小. A 3.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以 角速度 按图示方向转动,若如图所示的 情况那样,将两个大小相等方向相反但不 在同一条直线的力 F 沿盘面同时作用到盘 上,则盘的角速度 A （A）必然增大;（B）必然减少; （C）不会改变;（D）如何变化,不能确定 。 作用在定轴转动的刚体上的两个力的合力 为零，合力矩也一定为零，总功一定为零 。 4.光滑的水平桌面上, 有一长为 2L、质量为 m 的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的 竖直光滑固定轴自由转动,其转动惯量为 mL2/3, 起初杆静止,桌面上有两个质量均为 m 的小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着 杆的一端,以相同速率 v 相向运动,当两个小 球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞 后,与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的 转动角速度应为: L L （D） C （A） （B） （C） 以顺时针为转动正方向 两小球与细杆组成的系统 对竖直固定轴角动量守恒 由 Lmv+Lmv=2mL2+J J= mL2/3及 可知正确答案为 L L 6.如图所示,一均匀 细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数 为 m 的水平桌面上, 设开始时杆以角速 度 0 绕过中心 o 且 垂直与桌面的轴转 动,试求: （1）作用在杆的摩擦力矩; （2）经过多长时间杆才会停止转动。 典例2.质量为m半径为R的匀质圆盘可绕过盘心 的光滑竖直轴在水平桌面上转动。盘与桌面间 的滑动摩擦系数为。若用外力使其角速度达 到0时撤去外力，求：（1）此后圆盘还能转 动多长时间？共转了多大角度？（2）上述过 程中摩擦力矩所做的功。 习题指导P37 典型例题2 取半径为r宽为dr的质元 它受到的摩擦力矩为 总的摩擦力矩为 转动时间： 转过的角度： 摩擦力矩所做的功 典例6有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平 放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过 其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动另有一 水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与 棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短已知小滑 块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示求 碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时 间(已知棒绕O点的转动惯量) 碰瞬间角动量守恒： 角动量定理： 7.以 30Nm 的恒力矩作用在有固定轴的 飞轮上,在10s内飞轮的转速由零增大到 5rad/s , 此时移去该力矩,飞轮因摩擦力距 的作用经 90s 而停止,试计算此飞轮对其 固定轴的转动惯量。 解： , 典例3如图所示，有一门质量为M(含炮 弹)的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开 始下滑当滑到距顶端为l时从炮口沿水平 方向射出一发质量为m的炮弹欲使炮车发 射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度v 应是多大? 斜面方向动量守恒 P15 质点力学综合 2 7一长为1 m的均匀直棒可绕过其一 端且与棒垂直的水平光滑固定轴转