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控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第一节 教学模型的基本概念第一节 教学模型的基本概念 第二节 控制系统的动态微方程 第二节 控制系统的动态微方程 第三节 控制系统的传递函数第三节 控制系统的传递函数 第四节 动态结构图及其等效变 第四节 动态结构图及其等效变 换换 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达 式: 本章重点：.了解建立微方程的一般方法 .掌握运用拉氏变换解微方程的方法 .熟练运用梅狲公式求传递函数以及从不同途 径求传递函数的方法 第二次课 教学学时：2学时 目的要求：通过本次课程了解数学模型的基本概念，控制系统 的动态微方程的一般写发与求解 知识要点： 1.数学模型的基本概念 2.控制系统的动态微方程 a.列写动态微方程的一般写法 b.线形系统微方程的求解 教学步骤：先介绍数学模型的基本概念，在围绕概念讲述动态 微方程的的一般写法与求解并举例说明 教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等 课后作业：习题2-1（a c ) 只要求写出微方程 板书或旁注： .图2-1、2-4的讲解和例题2-5的讲解 （30分钟） .列写系统动态微方程的一般步骤 （30分钟） .用拉氏变换法求解微分方程的一般步骤 （30分钟） 教学内容： 第一节 数学模型的基本概念 自动控制系统的数学模型是描述系统在运动过程中各物 理变量之间相互关系的数学表达式的。因为系统在运动中 各物理变量是随时间而变化的,所以这个运动方程是微分方 程而不是代数方程，通常称为动态微分方程。 线性微分方程在一定条件下，可以用拉氏变换转换成传 递函数并用动态结构图表示，所以系统数学模型的形式有 微分方程 传递函数和动态结构图。 建立系统数学模型，有两种基本方法：解析法和实验法 。所谓解析法就是根据系统及元件各变量遵循的物理规律， 推导出其数学表达式，从而建立数学模型。 第二节 控制系统的动态微分方程 一 列写动态微分方程的一般方法 1.确定系统或各元件的输入变量输出变量。系统的 给定 或扰动量都是输入变量，而被控量是输出变量。 2.从系统的输入端开始，依据各变量所付值的物理归（如电 路中的基尔霍夫定律；力学中的牛顿定律；热力学 定律以及 能量守衡定律等），列写出在变化过程中的各个动态微分方 程。并考虑其它因数。 3.消去所列各微分方程组的中间变量，得到描述系统的输入 输出变量的微分方程。 4.整理所得微分方程，一般将输出量放在分号左侧按降序排列 。 以下举例说明建立动态微分方程的步骤和方法: 例2-1 如图2-1所示，列写电枢控制的他励直流电动机的微分方 程式。 解：电动机是控制系统中常用的执行机构或控制对象，改解：电动机是控制系统中常用的执行机构或控制对象，改 变电枢电压变电枢电压u u a a ，可控制其转速，可控制其转速n n或角速度的变化。或角速度的变化。 (1) .(1) .输入变量为输入变量为u u a a 输出变量为输出变量为n n。 (2).(2).电动机转动原理，列出各运动微分方程：电动机转动原理，列出各运动微分方程： 电路的电压平衡方程式：电路的电压平衡方程式： if GD2N1 ML n Ra ea La Ua M 若忽略电枢反应，涡流及磁滞影响。当励磁电流if一定 时，磁通为恒定，则 电枢反电动势 式中 角速度，单位s-1 ce电动势常数，单位v.s 电磁力矩 式中cm力矩常数，单位.m/A 转动方程： 机械力矩平衡方程式： 式中f集中粘性摩擦系数，单位 .m.s ML负载力矩，单位 .m (3)消去中间变量，可得输入ua与输出w间的函数关系 负载ML能带来扰动。上式为二阶常数线性微分方程，简称 二阶系统。JLa为两个储能元件。 (4)讨论：在大电机中，粘性摩擦力矩相对较小而可忽略， 则上式有： 将上式除以Ce并令 Tm= 称为机电时间常数； 称为电枢电磁时间常数。 则上式可简化成 如果进一步忽略电机电枢的La时，TL=0,则有 例2-2写出图2-3RLC串联电路的微分方程，设ui为输入变量， u0为输出变量。 LR U0 i0 Ui Ui c 解：根据电路原理、各元件上: , , , 忽略与输出端相并联的电流i0，有: 则 代入整理得： 令 , 均为时间常数则： 为二阶常系数线性微分方程，有LC两个储能元件。 令 , 均为时间常数则： 返回上页: 例24 列写图24所示弹簧质量块阻尼器的机械位移系统 的微分方程。设外作用力F为输入变量，位移x为输出变量。 图2-弹簧、质量、阻尼器动力系 X(t) f K F(t) m 解：根据力学原理，弹簧弹力F1=kx 式中： k弹性系数； x位移。 质量作用力F=ma 式中： m质量； a加速度。 阻尼电阻力 式中： f粘性摩擦系数； v移动速度。 在外力F作用下，克服弹簧恢复力及阻力，使质量m发生位移 x，并有加速度 产生。根据牛顿定律，系统的力学平衡方程式 有 令: m F F1 F2 为时间常数， 为阻尼比 , 为放大系数。 上式可写成二阶系统标准形式的微分方程 二线性系统微分方程的求解 用拉氏变换法求解微分方程的一般步骤是： 1. 对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，以将微分方程变 成带s的代数方程。 2. 整理代数方程，求出待求函数的拉氏变换式。 3. 通过查变换表求经过某些数字处理后，变成适于查表的 形式再查表，求得拉氏变换的反变换式。它即是微分方程的 解自动控制系统动态过程的时域表达式。 第三次课 教学学时：2学时 目的要求：通过本次课程熟练掌握求解控制系统的传递函数和 几个典型环节 知识要点： 1.控制系统的传递函数 b.关于传递函数的几点说明 c.典型环节的传递函数 教学步骤：先介绍传递函数的基本概念，在围绕概念重点讲述 典型环节的传递函数并举例说明 课后作业：习题2-1 板书或旁注： 1. 传递函数的基本概念的介绍 （16分钟） 2. 图2-6、2-7既比例环节的讲解 （16分钟） 3. 图2-8、2-9即惯性环节的讲解 （16分钟） 4. 图2-10、2-11既积分环节的讲解 （16分钟） 5. 图2-12、2-14既微分环节的讲解 （16分钟） 教学内容： 第三节 控制系统的传递函数 一传递函数的基本概念 1定义：线性系统在零初始条件下，输出量与输入量的拉氏 变 换之比，称该系统的传递函数。 自动控制系统微分方程的一般形式可写成： 式中 xi(t)输入量； x0(t)输出量； a0a1 an , b0b1bm常系数决定结构参数。 在零初始条件下取拉氏变换： 传递函数: 则 : 可用框图表示如图25所示： 图25线性系统的输入输出关系 传递函数可称为放大倍数。 2关于传递函数性质的几点说明 (1)传递函数的概念只适用于定常线性系统，它只反映系统在零 初始条件下的系统动态性能或者加输入前系统处于相对静止状态 (2)系统的传递函数，完全由系统的结构及其参数决定，而与外 作用（输入与干扰）信号的形式无关。 (3)系统的实际传递函数，一般有nm。 (4)一个传递函数只能表达一对输入输出间的关系。因而在分析 和求取传递函数时必须明确是哪个输入与哪个输出间的关系。同一 系统不同输入则传函不同。 (5)不同元件和系统，物理构成不同，但可能有相同的传递数， 传函相同则对应物理量就有相同的动态特性。 (6)在作不同用途的分析时，传递函数有不同的表示方法，且各 系数有不同的物理意义。将上式G(s)分解。 在作不同用途的分析时，传递函数有不同的表示方法，且各系 数有不同的物理意义。将上式G(s)分解。 式中kg放大系数； G(s)也用时间常数表示。 式中: k放大系数, 1 2，T1T2组成系统各环节的时间常数； N积分环节的个数； 二典型环节的传递函数及其动态响应。 (一） 比例(放大)环节。 输出量与输入量成比例关系叫比例环节。 代数方程 传递函数 式中：k比例常数或称放大系数。只有比例环节的系统，成 为零阶系统。 比例环节的单位过渡函数是输出随输入成比例变化，反观输入 没有时间滞后。 如图26所示，故又成为无惯性环节。 图26比例环节的输入输出关系 下面通过电子放大器举例说明： 图27 电子放大器，输出电压 式中R1R2电阻。 （二）惯性环节 微分方程 传递函数 此为一阶系统，其中T是惯性环节的时间常数。 动态响应 ： 求拉氏反变换得 4T R CUi Uo图29常见惯性环节 （三）积分环节 微分方程 即输出量与输入量随时间的积分，其中T为积分时间常数。 传递函数 动态响应单位阶跃输入时 它的缺点是输出量为输入量对时间的积累，呈线性增大，对 于输入的突变，输出要等T时后才能等于输出，故有滞后缓冲的 作用。 _ R C Ui Us + 图211为电子积分 调节器，以ui(t)为输 入，u0(t)为输出 （四）微分环节 常有的微分环节有两种，即理想微分环节和比例微分环节，向看 理想微分环节。 微分方程 式中 微分时间常数。 其传递函数为 动态响应 其输出为相同方向的冲击函数，其特点有加快作用，反映了变 化的趋向。如图212 UiUo C R 实例：图213为RC微分电路 ，以ui(t)输入，u0(t)输出， （五）一阶微分环节 微分方程 传递函数 一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又称比例微分环 节，其动态响应为： 其特性如图215 图215 一阶微分环节的输入输出关系 六振荡环节 微分方程： 传递函数： 图2-17 振荡环节阶跃响应 以R-L-C串联电路为例 （七）时滞环节 时滞环节也称延迟环节，是信号输入后需经过一个时间延迟 输出才完全复现输入信号。 数学方程： 传递函数： 可以近似为一惯性环节。 第四次课 教学学时：2学时 目的要求：通过本次课程了解动态结构框图的概念，掌握传达 室递函数的求取同时初步了解结构框图的等效变换 知识要点： 1. 传达室递函数的求取 2. 动态结构框图的基本概念 3. 结构框图的等效变换 教学步骤：先介绍传达室递函数的求取方法，然后介绍动态结 构框图的基本概念在围绕概念重点讲述结构框图的等效变换 教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等 课后作业：习题2-1 板书或旁注： 1. 传达室递函数的求取 （30分钟） 2. 动态结构框图的基本概念 （25分钟） 3. 图229到231既 串并联、反馈方框图的等效变换 的讲解 （35分钟 ) 教学内容： 第三节 控制系统的传递函数 三传达室递函数的求取 在列写出系统的微分方程之后，将其取拉氏变换，由定义可 得传递函数，如上述所举各例。 例：求图，调节器的传递函数。 R1R3 R2 U1 C _ + 解： 例：2-10求传递函数以UI(t)为输入，U0(t)为输出。 此为一阶微分环 节，即比例微分 调节器（PD）。 （三）利用动态结构图求解 对于一个复杂自控系统，所列各环节微分方程但方程数较 多，消去中间变量的工作很麻烦，若利用动态结构图化简，求 解传递函数将大大简化计算，下节将详细介绍有关结构图内容 。 （四）实验法 通过实验，测取系统在阶跃输入下的动枋响应，或用测频率 特性的方法，可近似地计算出被测系统的传递函数。 第四节：动态结构图及其等效变换 一动态结构图的概念 信号线表示信号的流传方向，可以 标出信号的复域名称， 举例说明系统动态结构图的建立过程。 例：求如图2-23所示RC网络的动态结构图，设Ui(t)为输出Uo(t)。 a)原理图 例：求如图2-24所示二级阻容滤波电路的结构图。 解：把二级滤波器看成一个组合网络，但忽略Uo端输出电流时有 a) 原理图 R1R2 R3 R4C _ + 图2-27速度调节器 (2)速度反馈的传递函数: 式中Kfd-速度反馈系统 (3)晶闸管功率放大环节的传递函数: 二.结构图的等效变换 (一) 串联方框图的等效变换 当各环节之间不存在(或可忽略)负载效应时 串联时等效传函等于并联各环节传递数之代数积. (二) 并联方框图的等效变换 并联时等效传函等于并联各环节传递数之代数和. (三) 反馈联接的等效变换 + 式中: G(s)-开环传递函数 (s)-闭环传递函数 分母中的对应于负反馈，对应于正反馈 若反馈通道中(s)=1，称为单位反馈，分析中常用，此时有 第五课次 教学学时：2学时 目的要求：通过本次课程掌握结构框图的等效变换、梅逊公式 并学会用公式法求相关多回路系统的传递函数 知识要点： 1.结构框图的等效变换 a.分支点的移动 b.综合支点的移动 2.梅逊公式 3.用公式法求相关多回路系统的传递函数 教学步骤：先介绍动态结构的等效变换并举例说明同时介绍梅逊 公式同时以及用公式法求相关多回路系统的传递函数的方法并举 例说明 教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等 课后作业：习题2-6、2-7、2-11、2-12 板书或旁注： 1图2-32、2-33既分支点移动的讲解 (30分钟) 2. 例题2-36、2-44的讲解 （15分钟） 3. 非单位反馈系统变换成单位反馈系统的两种方法 （30分钟) 4. 梅逊公式的几点说明以及例题2-39的讲解 （15分钟） 教学内容： 第四节：动态结构图及其等效变换 （四）分支点的移动 （五）综合点的移动 (六) 分支之间，综合点之间相互移动 例：化简图2-36 , 并求: 图2-36例题化 例；化简2-37 解：此结构图有三个回路，但其中两个回路是相互独立的， 即不交叉也不包围，因此不能使用上式去