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容斥原理之三者容斥问题浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题 中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有ABUC=A+B+C-AB-AC-BC+ ABC这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即ABC)这部分被减没了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个ABC。例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人?中公教育解析：由题意可画图如下：则有上述公式可知：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人故喜欢篮球和排球的人有22人。例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人，还有5人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?中公教育解析：本题和上题相比，较一般的三者容斥更为复杂。因为，题干中所出现的喜欢篮球、喜欢足球、喜欢排球的三种集合都是在全集100人中考查，且题干中出现了同时不属于这三种集合的元素。中公点拨：此类型题的做法大家只要记住构造全集即可，题干中不知道的设为未知数。外框的长方形代表全集，用I来表示，D代表同时不属于集合A，B，C三个集合的元素。构造全集I= A+B+C-AB-AC-BC+ ABC+D由此可得本题：设篮球和排球都喜欢的有x人，则有100=58+68+62-45-33-x+12+5解得x=27。中公教育专家提醒考生：容斥问题的关键在于计数时不能重复，不能
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