《弹性力学》第四章平面问题的极坐标解答.ppt

第四章 平面问题的极坐标解答 4-1 极坐标中的平衡微分方程 4-9 圆孔的孔边应力集中 4-4 应力分量的坐标变换式 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程 4-5 轴对称应力和相应的位移 4-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞 4-7 曲梁的纯弯曲 4-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移 4-10 楔形体在楔顶或楔面受力 4-11 半平面体在边界上受法向集中力 习题课 4-1 极坐标中的平衡微分方程 在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽不 会影响对问题本质的描绘，但却直接关系到解决问题的难易程 度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆形、楔 形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标方便的多。 图41 考虑平面上的一个微分体 ， 沿 方向的正应力称为径向正应力， 用 表示，沿 方向的正应力称为 切向正应力，用 表示，剪应力用 表示，各应力分量的正负号的规定和 直角坐标中一样。径向及环向的体力 分量分别用 及 表示。如图4-1 。 考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程： 由 ，可以得出剪应力互等关系： 由 ，有： 由 ，有： 因为 很微小，所以取 ， ，并用 代替 ，整理以上两式，得： 这就是极坐标中的平衡微分方程。 两个平衡微分方程中包含三个未知函数 、 和 ，所以问题是静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系 。 上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐 标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中， 由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值 愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。 一、几何方程位移与形变间的微分关系 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程 在极坐标中规定: -径向正应变 -环向正应变 -剪应变(径向与环向两线段 之间的直角的改变) -径向位移 -环向位移 用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。 图4-2 （1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示。 径向线段 的正应变为： 环向线段 的正应变为 ： 径向线段 的转角为： 环向线段 的转角为： 可见剪应变为： （2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。 径向线段 的正应变为： 环向线段 的正应变为： 径向线段 的转角为： 环向线段 的转角为： 可见剪应变为： 图4-3 如果同时存在径向和环向位移，则由叠加法得： 这就是极坐标中的几何方程。 二、物理方程 （1）平面应力情况： （2）平面应变情况： 将上式中的 换为 ， 换为 。 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程 为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利 用极坐标和直角坐标的关系： 得到： 在=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上 面各式代入应力分量的表达式（常体力）： （a） （b） （c ） 得到： 可以证明，当体力为零时，这些应力分量确能满足平衡微分方程。 由（a）+（b），得： 于是由直角坐标的相容方程： 得到极坐标中的相容方程： 用极坐标求解平面问题时（体力不计），就只须从相容方 程求解应力函数 ，然后求出应力分量，再考察应力分量 是否满足边界条件，多连体还要满足位移单值条件。 4-4 应力分量的坐标变换式 在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就 可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如 果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得 极坐标中的应力分量。 设已知极坐标中的应力分量 、 、 。试求直角坐标中 的应力分量 、 、 。 图4-4 如图4-4，在弹性体中取微小三 角板 ，各边上的应力如图所示。 三角板的厚度取为一个单位。令 边的长度为 ，则 边及 边的长 度分别为 及 。 根据三角板 的平衡条件 ，可得平衡方程： 用 代替 ，得 ： 同理，由平衡条件 ，可得： 另取微小三角板 ，如图4-4，根据平衡条件 ，得到： 综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换 式为： 利用简单的三角公式，上式可改写为： 4-5 轴对称应力和相应的位移 如果应力分量仅是半径的函数，如受内外压的圆环，称为 轴对称问题。 采用逆解法，假定应力函数 仅是径向坐标 的函数: 相容方程简化为 : 这是一个四阶常微分方程，它的通解为: 这时，应力分量的表达式为: 正应力分量仅是 的函数，与 无关，并且剪应力为零， 应力分量对称于通过z轴的任一平面，称为轴对称应力。 将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应 变的表达式,再代入位移与应变积分后的几何方程,得到轴对称 应力状态下的位移分量: 对于平面应变问题，须将上面公式 换为 ， 换为 。 4-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞 如图4-5，圆环的内半径为a ，外半径为b，受内压力qa，外 压力qb。为轴对称问题。根据上 节有解为: 图4-5 边界条件为: 一、圆环或圆筒受均布压力 在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体 的位移单值条件补充一个方程。 在环向位移表达式： 这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式 ，得到拉密解答： 由边界条件得到: 中，第一项是多值的，在同一r处， =1和=1+2时，环向 位移相差 ，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有 B=0。 于是: 下面分别讨论内压力和外压 力单独作用的情况。 （1）只作用均匀内压时（ ）， 例如液压缸，上面解答化为： 图4-6 应力分布大致如图4-6所示。 当 时，得到具有圆孔的无 限大薄板，或具有圆形孔道的无 限大弹性体，这时上面的解答成 为： （2）只有外压时（ ），例如 液压柱塞，上面解答化为： 应力分布大致如图4-7所示。 图4-7 二、压力隧洞 图4-8 如图4-8所示，受 均匀内压力 作用的圆 筒埋在无限大弹性体 中，圆筒和无限大弹 性体的材料不同。试 分别讨论两者的应力 和位移情况。 两者都属于轴对 称应力问题，采用半 逆解法。 设圆筒的应力表达式为： 设无限大弹性体的应力表达式为 ： 由应力边界条件求待定常数 、 、 、 。 （1）在圆筒的内表面：由此得： （2）在无限大弹性体内距离圆筒很远处几乎没有应力。 由此得： （3）在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有： （1） （2） 由此得： 三个方程不足以确定四个常数，下面来考虑位移。 由于圆筒和无限大弹性体都是多连体，并属于平面应变问 题，可以写出两者的径向位移的表达式。 圆筒： 无限大弹性体： 将以上两式简化后得： （3） 在接触面上，两者应具有相同的位移，即： 因此有： 因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立，也就是在 取任何数值时都应当成立，所以方程两边的自由项必须相等 。于是有： 简化后，得： 其中： （4） 联立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出 、 、 、 ，代 入应力分量的表达式，得： 当 时，应力分布大致如图4-8所示。 4-7 曲梁的纯弯曲 内半径为a，外半径为b的狭矩形 截面的圆轴曲梁，在两端受大小相等 、方向相反的弯矩，为轴对称问题。 有： 边界剪应力都为零： 图4-9 在梁的内外两面，正应力要求 : 从而可得： 在梁端的边界条件要求: 则 ： 将 的表达式： 代入，并由边界条件得： 在这里有三个方程和三个待定常数，解出A、B和C，代 入应力分量表达式，得到郭洛文解答: 其中： 4-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移 一、等厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移 设有等厚度圆盘，绕其回转轴以匀角速度 旋转。圆盘可 以认为是在下面的体力作用下处于平衡状态： 由于这里是轴对称的物体受轴对称的体力，所以应力分布 也是轴对称的。 即：应力分量 及 都只是 的函数，而 。所以有平衡微分方程： 令： (1) 在这里，由于圆盘只受回转轴的约束，而这种约束是轴对称 的，所以它的弹性位移也是轴对称的。即：径向位移 ，而 环向位移 。于是几何方程简化为： 消去 ，得到相容方程： 解方程得到： 将物理方程代入，再联立式(1)，得到由应力函数 表示的相 容方程： 联立式（1），得： (2) 其中 和 是任意常数。 盘边的边界条件： 其中 是圆盘的半径。代入式（2），得： 取 ，代入式（2）得应力分量的表达式为： 最大应力在圆盘的中心： 径向位移： 在圆盘的中心（ ）， 。最大弹性位移发生在圆盘的 边缘（ ）： 二、变厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移 假定圆盘的厚度为 ，而应力不沿厚度变化，则等厚度 圆盘的微分方程可以近似地应用于每单位厚度的圆盘。于是可 得全厚度内的平衡微分方程为： 令： 可得： 取厚度的变化规律为： 其中 是常数， 为任意正数。则上式成为： 解方程，得： 其中 和 是任意常数，而： 由此可得出应力分量： 由边界条件 ，求得： 为了应力在圆盘的中心（ ）处不成为无限大，取 。 从而得应力分量为： 且，有： 4-9 圆孔的孔边应力集中 板中开有小孔，孔边的 应力远大于无孔时的应力， 也远大于距孔稍远处的应力 ，称为孔边应力集中。 应力集中的程度与孔的 形状有关。一般说来，圆孔 孔边的集中程度最低。这里 简略讨论圆孔孔边应力集中 问题，较为复杂的孔边应力 集中问题一般用复变函数方 法，在第五章中进行讨论。 图4-10 一、 矩形板左右两边受集度为q的均布拉力 设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为 的小圆孔， 在左右两边受均布拉力，其集度为 ，如图4-10。 以远大于 的某一长度 为半径，以小孔中心为圆心作圆 ，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件： 上述面力可以分解成两部分，其中第一部分是 ： 第二部分是： 求面力（a）所引起的应力。令： 。得： (a ) (b ) 由于 ，所以可近似地取 ，从而得到解答 ： 求面力（b）所引起的应力。采用半逆解法：假设 为 的某 一函数乘以 ，而 为 的另一函数乘以 。即： 又应力函数和应力分量之间的关系为： 因此可以假设： 代入相容方程，得： 删去 ，求解常微分方程，得： 从而得应力函数： 从而得应力分量： 由边界条件： 得到方程： 求解 、 、 、 ，令 ，得： 将各已知量代入应力分量表达式，即得齐尔西的解答： 二、矩形板四边受均布拉力 如果矩形薄板在左右两 边受有均布拉力 ，并在上 下两边受有均布拉力 ，如 图4-11，也可由前面解答得 出应力分量。首先命该解答 中的 等于 ，然后命该解 答中的 等于 ，将 用 代替，最后将两个结果相叠 加。得到： 图4-11 4-10 楔形体在楔顶或楔面受力 图4-12 楔形体的中心角为 ，下端为无限长。 1. 顶部受集中力P 设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形体 的中心线成角 。取单位宽度的部分来考虑 ，并令单位宽度上所受的力为 。 楔形体内一点的应力分量决定于、P 、r、，因此，应力分量的表达式中只包含 这几个量。其中、是无量纲的量，因此 根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应 取PN/r的形式，其中N是、组成的无量 纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力 函数中r的幂次应当比各应力分量的幂次高出 两次，因此可设： 代入相容方程后得： 求解这一微分方程，得： 其中 不影响应力，取： 于是得： 楔形体左右两面的边界条件： 上述应力分量满足该边界条件。集中力P按圣维南原理处 理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和P合成平衡力系 ： 将 的表达式代入，可求出C、D，最后得到密切尔解答： 2.顶部受有力偶M作用 图4-13 设楔形体在楔顶受有力偶，而每单位 宽度内的力偶矩为M ，如图4-13。 根据和前面相似的分析，应力分量应 为MN/r2的形式，而应力函数应与r无关。 代入相容方程后，得 ： 求解这一微分方程，得： 力偶可看成反对称力，正应力和应力函 数应当是 的奇函数，从而A=D=0,于是： 楔形体左右两面边界条件： 上述应力分量自动满足第一式，根据第二式，可得： 于是： 集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则 该截面上的应力与M成平衡力系： 最后得到英格立斯的解答： 3.一面受均布压力q 图4-14 设楔形体在一面受有均布压力 ,如 图4-14。 应力分量应为qN的形式，而应力 函数应为qNr2的形式： 代入相容方程后，得： 求解这一微分方程，得: 边界条件为: 求解常数，得应力分量的李维解答： 4-11 半平面体在边界上受法向集中力 利用坐标变换可得到直角坐标中的应力分量式（2）： （1） （2） 命楔形体的中心角等于一个平角，这 楔形体的两个侧边就连成一个直边，而楔 形体就成为一个半平面体，如图4-15。 一、应力分量 当平面体在边界上受有垂直于边界的力 时，在密切尔解答中令 、 。于是得 式（1）： 图4-15 或将其中的极坐标改为直角坐标而得： 二、位移分量 假设是平面应力情况。将应力分量代入物理方程，得形变分 量： 再将形变分量代入几何方程，得： 于是可以得出位移分量： 其中 、 、 都是任意常数。 由对称条件 ，得： 代入式（3），得： （3 ） 如果半平面体不受铅直方向的约束，则常数 不能确定 。如果半平面体受有铅直方向的约束，就可以根据这个约束 条件来确定常数 。 （4） 边界上任意一点 向下的铅直位移，即所谓沉陷。由式 （4）中的第二式可得 点的沉陷为： 如果常数 没有确定，则沉陷也不能确定。这时只能求 出相对沉陷。 在边界上取定一个基点 ，它距载荷作用点的水平距离 为 。则边界上一点 对于基点 的相对沉陷，等于 点的 沉陷减去 点的沉陷，如图4-16 ： 简化以后，得： 图4-16 半平面体在边界上受法向分布力作用时的应力和沉陷,可 以由半平面体在边界上受法向集中力用叠加法得出。 练习1 如图1所示，由内外筒组成的 组合筒（长度有限，两端自由），装 配前内筒的外半径比外筒的内半径大 ，求接触压力 ，并导出环向预应力 的表达式。 解：1.设装配后接合处的公共半径为 ，接 触压力 使内筒的外半径减小了 ，而 使外筒的内半径增大了 ，按位移协调 条件有： 2.将 代入只受内压力作用圆环的位 移公式，得： （1） （2） 平面问题的极坐标解答习题课 图1 （3） 将式（2）、（3）代入式（1），得： 3.若内、外筒为同一种材料，则 ， 从上式可解得： 4.内、外筒的环向应力为： 内 外 将 代入只受外压力作用圆环的 位移公式，得： 解： 练习2楔形体顶端受集中力 作用， 与 轴 的夹角为 ，如图2所示。取单位厚度考虑， 试确定楔形体内的应力分量。 1.由于描述楔形体几何特征的角度 是无 量纲的，故可由量纲分析法得知，应力函 数中 只能以一次幂形式出现，即： 2.由调和方程求出 后，即可求得应力函数为： 由于 不影响应力分量，故 可删去，因此有： （1） （2） （3） （4） 图2 3.楔形体两侧面的边界条件能自然满足： 考虑半径为 的楔形体上部的静力平衡条件： 由前两式可解出 和 ，从而求出应力分量（密切尔解） ： 练习3求图3所示问题的