空间点线面的位置关系.ppt

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？ 长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的， 有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在 的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等. 空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题. 1.平面的基本知识 (1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性. 平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的. 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么? 不能. 画法立体几何中通常用平行四边形来表示平面， 有时也用圆或三角形等图形来表示平面. 画平面水平放置时 ，常把平行四边形 的锐角通常画成45 ，且横边长等于邻 边长的2倍. 水平放置 垂直放置 为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮 挡的部分用虚线画出来. (3)平面的画法及表示 1.平面的基本知识 画出两个竖直放置的相交平面. 练习 表示方法： AB C D 把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上， 如平面 ，平面 . 用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示， 如平面ABCD. 用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示，如平面AC或者平面BD. (3)平面的画法及表示 1.平面的基本知识 (1)点、线、面的表示 点(元素):大写字母A、B、C、D 直线(点的集合):小写英文字母 或者两个大写英文字母 平面(点的集合):用希腊字母表示 ； 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示. (2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号 元素与集合关系： 集合与集合关系： 2.点、直线、平面的位置关系 A B a 点A在直线a上，记作 点B不在直线a上，记作 点A在平面上，记作 点B不在平面上，记作 A B (1)点与直线的位置关系： (2)点与平面的位置关系： 2.点、直线、平面的位置关系 (3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类 直线a与平面有且只有一个公共点，称直线a与平面相交. 记为： 直线a与平面没有公共点，称直线a与平面平行. 记为： a A a a 直线a与平面有无数个公共点，称直线a在平面内， 或称平面通过直线a.记为： 公理1 注1：情况和统称为直线a在平面外，记作 2.点、直线、平面的位置关系 (4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类 a 当两个不同平面与平面有公共点时，它们的公共点组成 直线a，称平面与平面相交.记作： 当平面与平面没有公共点时，称平面与平面平行. 记作： 公理3 注2：当平面上的所有点都在平面上时，称平面与平面重合. 公理2 （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合) 2.点、直线、平面的位置关系 小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系 ： B a a A b a A A B 练习 a 平面与平面重合 桌面 A B 观察下列问题，你能得到什么结论？ 直尺落在桌面上（直线AB在平面内） 3.平面的基本性质 图形语言： A B (1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内. 符号语言： 该公理反映了直线与平面的位置关系： 可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面. 3.平面的基本性质 思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？ 不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并 且这些公共点在一条直线上. 3.平面的基本性质 P (2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线. 图形语言： 符号语言： 该公理反映了平面与平面的位置关系： i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个 公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线. (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可) ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线 是这两个平面的公共交线，则该点在交线上. 3.平面的基本性质 C B A 观察下列问题，你能得到什么结论？ 自行车需要一个支脚架就可以保持平衡. 3.平面的基本性质 A B C (3)公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： 定义的说明： 过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在一 条直线上的三点”这一条件； “有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有 一个”替代； 确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词. 3.平面的基本性质 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 . 证明： 存在性. 因为Aa，在a上任取两点B，C. 所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理2） 因为B，C， 故经过点A和直线a有一个平面. A B C a 因为B，C在a上， 所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C. 由公理2，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个， 所以过直线a和点A的平面只有一个. 唯一性. 所以a .（公理1） 已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面. 3.平面的基本性质 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. b a a b 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 . A B C a 注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据. A B C 公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 练习 3.平面的基本性质 a b c e d 我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？ ab c d e 3.平面的基本性质 符号表示: c a abc c (4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. a 平行具有传递性；注4： 该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节. 3.平面的基本性质 例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与 BC1是什么位置关系？为什么？ 解 ： C1 A B C D A1 B1 D1 1）ABA1B1， C1D1 A1B1， AB C1D1 2）AB C1D1 ，且AB = C1D1 ABC1D1为平行四边形 故AD1 BC1 练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？ 例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F ，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求 证：EFGH是一个平行四边形. 问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？ “见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法 EH是ABD的中位线， EH FG且EH =FG EFGH是一个平行四边形 证明：连结BD， 同理，FG BD且FG = BD EH BD且EH = BD A B D E F G H C 菱形 问2:若上例中四边形EFGH为矩形，AC与BD垂直吗？ 另注：平行线段成比例 练习 A B C D A1 B1 C1 D1 O A B C D A1 B1 C1 D1 E F 找两平面的两个公共点 例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题） Q 即交线为QN 例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题） 拓展 4.点线共面问题 (1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论. (2)证明的常用方法： 纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的 点、线在此平面内； 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元 素确定平面，最后证明平面、重合. 例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内. A B C 已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C 求证：直线AB，BC，AC共面. 证明： 因为ABAC=A， 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2） 因为BAB，CAC，所以B，C， 故BC.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面. 确定一个面，再 证明其余线在该 面内. 4.点线共面问题 证法二： 因为A 直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面 .（推论1） 因为BBC，所以B . 又A， 故AB ，同理AC ， 所以AB，AC，BC共面. A B C 例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内. 证法三： 因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理2） 因为A，B，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ，所以AB，BC，CA三直线共面. 4.点线共面问题 4.点线共面问题 P51 5 证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面. 已知：a/b，ac=A，bc=B. 求证：直线a，b，c共面. 证明：因为a/b， 所以直线a，b确定一个平面 .（推论3） 因为Aa，Bb，所以A，B. 又因为Ac，Bc.故AB .（公理1） 因此直线a，b，c共面. 4.点线共面问题 例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面. 已知：a/b/c，al=A，bl=B, cl=C. 求证：直线l与a，b，c共面. 证明：a/b，直线a，b确定一个平面.（推论3） l a=A， l b=B， A，B. 又Al，Bl，故l . 同理，直线b，c确定一个平面，且l . 平面与都过两相交直线b，l. 又两相交直线确定一个唯一的平面. 与重合. 故l与a，b，c共面. 证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 4.点线共面问题 练 已知a ，b ，ab=A，Pb，PQ/a . 求证：PQ . 4.点线共面问题 (1)证明的主要依据是公理3： 如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点 必在这两个平面的交线上. (2)证明的常用方法： 首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点； 选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一 般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个 面的公共点）； 证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三 条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题） 5.证明三点共线、三线共点的问题 例1 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面分别别交于P、 Q、R.求证：P、Q、R共线. B A Q R C P 证明 ： 同理Q、R也为公共点， 所以P、Q、R共线. 要证明各点共线，只 要证明他们是两个相 交平面的公共点. 5.证明三点共线、三线共点的问题 P53 3 空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G， H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点. 分析： 已知EHFG=K，要证EH，BD，FG共点. 即要证明B，D，K三点共线. 而BD是面ABD和面CBD的交线. 所以往证K面ABD面CBD. 而显然，由EH面ABD，KEH，可得K面ABD. 同理，由FG面CBD，KFG，可得K面CBD. 5.证明三点共线、三线共点的问题 小结： (1)空间点、线、面的位置关系 (2)平面的基本性质（四个公理） (3)证明直线平行的常用方法 (4)点线共面，三线共点，三点共线问题的证明 作业：P51 5、6 P53 B组2、3 P78 3、4、8 精讲精练： P18 9、8 “见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法 P78 4,5 E F G (2) 立体几何中求解平面的角度 边长面积等问题时，注意重新 画出图形，结合几何体找出边 角关系并利用平面图形性质求 解问题. back 例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题） 精讲精练P2 4（正方体的截面形状的研究） back 形状特殊情形 三角形 锐锐 角 三 角 形 等 腰 三 角 形 等 边边 三 角 形 四边边形 平 行 四 边边 形 长长 方 形 正 方 形 梯 形 不可能是直角梯形 五边边形 注意：该该五边边形 必有两组组分别别平 行的边边，且不可 能是正五边边形 六边边形 注意：该该六边边形 必有分别别平行的 边边，且可以是正 六边边形 例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题） 正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面 截得正方体的截面形状 back 正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面 截得正方体的截面形状 S 即交线为RS交AA1于中点G K G H S T 即交线为QT交CC1于中点H T 例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题） back K G H J 例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题） 正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面 截得正方体的截面形状 back *画出四面体ABCD中过E,F,G三点