二高阶导数的运算法则.ppt

YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 一、高阶导数的概念 速度即 加速度 即 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 定义. 若函数的导数可导, 或即或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 设求 解: 依次类推 , 例1. 思考: 设问 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例2. 设 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例3. 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例4. 设求 解: 一般地 , 类似可证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例5 . 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例6. 设求使存在的最高 分析 : 但是不存在 . 2 又 阶数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼兹(Leibniz) 公式 及设函数 推导 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例7. 求 解: 设 则 代入莱布尼兹公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例8. 设 求 解:即 用莱布尼兹公式求 n 阶导数 令得 由得 即 由得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 思考与练习 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (3) 提示: 令 原式 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. (填空题) (1) 设则 提示: 各项均含因 子 ( x 2 ) (2) 已知任意阶可导, 且 时 提示: 则当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 3. 试从 导出 解： 同样可求 (见 P101 题4 ) 作业 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ;