怎样利用割补法解立体几何中的问题.ppt

执教：李雪峰 华东师范大学附属东昌中学 1、用割补法求体积 2、用补形法求二面角 3、用补形法求异面直线所成角 二、用割补法解决立体几何中的几类问题 一、引言 b c a d e f 如图：abc中，ab=8、bc=10、ac=6，db平面abc， 且aefcbd，bd=3，fc=4，ae=5。 求：此几何体的体积？ 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。 b c a d e f 分析： v几何体= v三棱柱 bc a d e f m n 用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱 和一个四棱锥。 如图：取 cm=an=bd , 连结 dm , mn , dn。 分析： v几何体=v三棱柱+v四棱锥 如图：abc中，ab=8、bc=10、ac=6，db平面abc， 且aefcbd，bd=3，fc=4，ae=5。 求：此几何体的体积？ 例1. 如图: 斜三棱柱的一个侧面 abb1a1的面积为 s ， 侧棱 cc1 到这个侧面的距离为 h 。 求：斜三棱柱的体积。 c1 b1 a1 a b c o 如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体） 则 v四棱柱 sh v三棱柱 sh b1 c1 a1 ab c o a d1 c d a1 b c1 b1 例2.如图：在棱长为 a 的正方体abcd-a1b1c1d1中取 点a1、c1、b、d，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积。 解一 ： a1 b d c1 0 e 正方体的棱长为 a ，此多面体为正四面体，其棱长为2 a 例2.如图：在棱长为 a 的正方体abcd-a1b1c1d1中取 点a1、c1、b、d，依次连结成一个多面体， 求：此多面体的体积。 解二：用分割法 a d1 c d a1 b c1 b1 例3. 如图：已知在正方体 abcda1b1c1d1 中,棱长为 a , m、n 分别为 cc1 、 aa1的中点, 求：四棱锥 amb1nd 的体积 vadmn=vm adn 底面积： 高：为点 m 到平面 adn的距离h=a v四棱锥=2va dmn= vadmn 解(简): a d1 c d a1 b c1 b1 m n a d1 c d a1 b c1 b1 n m 例4. 过正方形 abcd 的顶点 a 作线段 pa平面abcd ， 如果ab=pa。 求：平面 abp 与平面 cdp 所成的二面角的大小。 p d a c b a c d b p b1 如图所示、将左图补成一个正方体。 平面 abp 即为平面 abb1p 所在平面 平面 pdc 即为平面 pdcb1 所在平面 所求二面角即为正方体的对角面 pdcb1与侧面 abb1p所成角 即：cb1b= 解： 例5. 如图：在直三棱柱 abca1b1c1中，acb=90。 ， bc=5，ac=9，cc1=12 求：cb1与 ac1所成的角的大小 a b c a1 c1 b1 a2 b2 c2 如图,补一个相同的直三棱柱, 连结c1b2，ab2，则cb1c1b2 ac1b2（或其补角）就是 ac1和 cb1所成的角。 在ac1b2中，有余弦定理得： ac1和b1c所成的角为ac1b2的补角。 其值为： 可得：ac1=15，c1b2=13，ab2=682 1、在四面体 abcd 中，ab=ac=db=dc=10，bc=ad=12， 求：四面体 abcd 的体积。 2、如图：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3。 求：侧面 pab 与 pcd 所成的二面角的大小 。 3、如图：在正方体 ac1 中，e 为 b1c1 的中点， 求：异面直线 a1c 和 be 所成的角的大小。 a d1 c d a1 b c1 b1 e d b a c p a b cd 练习： （第1题）（第3题）（第2题） 1、在四面体 abcd 中，ab=ac=db=dc=10， bc=ad=12， 求：四面体 abcd 的体积。 取 bc 的中点 e， 则 aebc，debc。 a b cd e v四面体 = vbade + vcade 2、如图：正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 3。 求：侧面 pab 与 pcd 所成的二面角。 d b a c p a c d b p m n d1 a1 b1c1 3、如图：在正方体 ac1 中，e 为 b1c1 的中点， 求：异面直线 a1c 和 be 所成的角。 如图，补一个正方体，取 c1f 的中点 e1，则 bece1 a1ce1（或其补角）为 a1c与 be 所成的角。 在a1ce1中，有余弦定理得： a1c和 be 所成的角即为a1ce1，其值为 a d1 c d a1 b c1 b1 fe 可得 ： e1 解: 复杂的几何体都是由简单几何体 组成，在求体积时，注意利用分割的 思想。另外，应注意改变对几何体的 观察角度，以得到最佳求积法。 在立体几何中利用补形的方法可以既 简单又巧妙地解决很多问题。 割补法是重要的数学方法之一。 小结 注意！ a d1 c d a1 b c1 b1 n m 例3. 如图：已知在正方体 abcda1b1c1d1 中,棱长为 a , m、n 分别为 aa1、cc1 的中点, 求：四棱锥 amb1nd 的体积 四棱锥 amb1nd的底面为菱形， 高：a到底面的距离为多少？ 连接 mn，把四棱锥分割成两个三棱锥 mb1nd为菱形， sb1mn=sdmn vab1mn= vadmn v四棱锥=2va dmn 分析 ： 分割 ： a d1 c d a1 b c1 b1 n m 高相等 如图：在