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从课堂到奥数7年级从课堂到奥数7年级目 录第1讲 有理数和数轴2第2讲 绝对值5第3讲 有理数的运算8第4讲 奇数与偶数10第5讲 代数式13第6讲 整式的概念和整式的加减16第七讲 一元一次方程的概念和解法18第8讲 一元一次方程的应用（1）20第9讲 一元一次方程的应用（2）23第10讲 立体图形26第11讲 几何图形计数30第12讲 线段和角34第13讲 面积问题和面积方法37第14讲 相交线和平行线41第15讲 平面直角坐标系44第16讲 三角形的概念47第17讲 多边形的概念50第18讲 一次方程组的概念和解法53第19讲 一次方程组的应用56第20讲 一次不定方程59第21讲 数的整除性62第22讲 一元一次不等式（组）65第23讲 一元一次不等式（组）的应用68第24讲 数据的收集 整理与描述71第25讲 探索、猜想与归纳74第1讲 有理数和数轴知识方法扫描1. 正数和负数自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示如+5，+78，+2.4等带有正号的数叫正数；正号通常可以省略。如-65，-78，-92.4等带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数。2有理数的分类（1） （2）3. 数轴 规定了原点、正方向、长度单位的有向直线叫做数轴 建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是0，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，所有的有理数都可在数轴上找到对应的点.数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于0，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数.4相反数只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相反数是0. 互为相反数的和为0，在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.经典例题解析例1 若a、b互为相反数，c,d互为负倒数, 则(a+b)1996+(cd)323=_解 因a、b互为相反数，故a+b=0； 因c,d互为负倒数， 故cd = -1，于是(a+b)1996+(cd)323= 01996+(-1)323= -1评注 互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，互为负倒数的两数积为-1，解答此类问题要注意从整体考虑。例2 三个互不相等的数，可以表示成1，a+b，a的形式，也可以表示成0，b的形式，那么a+3b= 解 由题意知，a与a+b中必有一个等于0，b与中必有一个等于1，但显然a0，故a+b=0，从而=1，于是b=1，这样就有a=1，a+3b=2。例3文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在 ( ) (A)文具店 (B)玩具店 (C)文具店西边40米 (D)玩具店东-60米解 选（A） 由题意可以画出下图： 因为，向东走了-60米就是向西走了60米所以，小明从书店向东走了40米，再向西走60米，结果是小明的位置在书店西边20米，也就是文具店的位置， 例4 如下图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数量接近的整数是（ ）（A） -1 （B） 0 （C） 1 （D） 2 解 选C。AF的长度为11-（-5）=16， 所以每两个相邻的点之间的距离为，于是C点对应的数为-5+2=。所以与点C所表示的数量接近的整数是1。评注：解有关数轴的问题，需要仔细观察点在数轴上的位置，判断点所对应的数的符号，了解不同点所对应的数之间的大小关系和数量关系。例5数轴上的点A，B，C分别对应数 0，-1，x。 C 与A 的距离大于 C 与B 的距离，则（ ）（A） x0 （B） x-1 （C） x （D）xCB, 故点C 在 AB 中点D的左侧，而D所对应的数是，所以x。例6 如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3。先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合，再让数轴逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数-2006将与圆周上数字 重合。 解 填3 不难看出：数轴上的数中4的倍数，对应于圆周上的数是1；数轴上的数中被4除余3的倍数，对应于圆周上的数是2；数轴上的数中被4除余2的倍数，对应于圆周上的数是3；数轴上的数中被4除余3的倍数，对应于圆周上的数是4。 因为-2006 =-5024+2， 所以数轴上的数-2006与圆周上的数3相对应。例7 如果将数轴上的每一点都染成红和蓝两种颜色，求证：必然存在同色的三个点其中一个点是以另两点为端点的线段的中点。证明：在数轴上取颜色相同的两点A、B，它们对应的数分别为a,b. 不妨设它们都是红色点，且AB=2。下面考虑AB的中点C,它所对应的数为。 若C的颜色是红色的，则题目的结论显然成立； 若C的颜色是蓝色的，那么：以A为一个端点，B为中点的线段的另一端点D所对应的数为2b-a，以B为一个端点，A为中点的线段的另一端点E所对应的数为2a-b。 若D或E是红色的 ，则题目的结论显然成立； 若D与E都是蓝色的，则D，C，E同色且C是DE的中点，题目的结论也成立. 例8如图，数轴上标有2n+1个点，它们对应的整数是-n, -(n-1), ,-2,-1,0,1,2,n-1,n为了确保从这些点中可以任取2006个，而且其中任何两个点之间的距离都不等于4，则n的最小值是 。解 首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7 。从中可取前4个数0，1，2，3， 其中任何两个点的 距离都不等于4。 又由于这8个点可以分为4组，每组两个点的距离为4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一组只能选一个点，8个点中只能选出4个点，任何两个点之间的距离都不等于4。 因为 2006=4501+2, 8501+2=4010故在n=2005时，2n+1=4011，从左到右，每8个连续的点中取前4个点，剩下的3个点中取2个，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4。 另一方面，如果n2004，那么2n+l4009从左到右，每8个连续点一组，至多502组，其中最后一组只有1个点因此不论怎么取2 006个点，前501组中总有一组取的点多于4个，从而有2个点的距离为4 综合上面所说，n的最小值是2005。第2讲 绝对值知识方法扫描1绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值还是零即 2绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值3绝对值的性质：（1）|ab|=|a|b|； |an|=|-a|n； |a-b|=|b-a|（2）|a|=|b|等价于a=b或a=-b， 即a2=b2（3）|a-b| 就是数轴上表示数a的与表示数b的两点之间的距离（4）|a| 是一个非负数。经典例题解析例1 计算= 。解：原式=（）+（）（）= 0， 故填0。例2 已知a,b 互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于1，则(a+b)x3+x2-cdx可以取得的那个较大的值是 。解 因a,b 互为相反数，故a+b=0； 因c,d互为倒数，故cd=1；于是 原式=x2-x因x的绝对值等于1，故x=1，当x=1时，原式=0；当x=1时，原式=2。所以，应填2。例3 a、b是有理数，如果那么对于结论：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中（ ）。 （A）只有（1）正确 （B）只有（2）正确 （C）（1），（2）都正确 （D）（1），（2）都不正确解 当ab时，有a-b=a+b.于是 b=0, a0 当ab时，有-（a-b）=a+b. a=0, b0 所以a,b两数中一个为0，另外一个是非负数，所以（1）正确，（2）不正确。应选（A）。评注：去掉绝对值的符号，是处理绝对值问题的基本方法。这就需要探究绝对值符号内的数的正负，分类讨论，往往是必须的。例4 已知且则S的最大值与最小值的差是 。解 由知x-20 于是，得 因为 于是，当|x|=0时，S取最大值4；当|x|=2时，S取最小值3其差为4-3=1。故填1。例5 设k是自然数，且ka+b=0，则 等于（ ）（A） 3 （B） 2 （C） 3+ （D）2-解 由得 显然k0（否则b=0, 代数式无意义），又k是自然数，于是k0.所以 (*)当a0时，(*)变为 当a0即 ,(3a-1)20, |2a+4|0, 2a+40. (3a-1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾：(2)当3a-10, (3a-1)20, |2a+4|0=2a+4, (3a-1)2+|2a+4|2a+4, 矛盾；(3)当3a-1=0, 即时, 上式成立. 例7 在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6, 打乱次序后, 将纸片翻过来, 在它们的反面也随意分别写上16这6个整数, 然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值, 得到6个数, 请你证明: 所得的6个数中至少有两个是相同的.证明：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3 ,a4 ,a5,a6 ,反面写的数是b1，b2，b3 ,b4, b5, b6 ,则6张卡片正面写的数与反面写的数的差的绝对值分别为|a1-b1|，|a-b|，|a-b|，|a-b|，|a5-b5|，|a6-b6|设这6个数两两不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值.于是|a1-b1|+|a-b|+|a-b|+|a-b|+|a5-b5|+|a6-b6|=0+1+2+3+4+5=15是个奇数.另一方面，|ai-bi|与ai-bi（i=1,2,3,4,5,6）的奇偶性相同，所以|a1-b1|+|a-b|+|a-b|+|a-b|+|a5-b5|+|a6-b6|与（a1-b1）+(a-b)+(a-b)+(a-b)+(a5-b5)+(a6-b6)= (a1+ a+ a+ a+ a5+ a6)-(b1+ b+ b+ b+ b5+ b6 )=（1+2+3+4+5）-（1+2+3+4+5）= 0的奇偶性相同，是个偶数，矛盾.所以, |a1-b1|，|a-b|，|a-b|，|a-b|，|a5-b5|，|a6-b6|这6个数中至少有两个是相同的. 例8 某环形道路上顺次排列着四所中学：A1,A2,A3,A4.它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台。为使各校的彩电数相同，允许一些学校向相邻中学调出彩电，问应怎样调配才能使调出的彩电总台数最少？并求出调出彩电的最少总台数。解 设A1校调往A2校 x1台（若x10, 则 a,b _. (5) 若a2+b2=0,则 a,b _.解 (1) 若a+b=0,则 a,b 互为相反数；(2) 若ab=0, 则 a,b 至少有一个等于零；(3) 若ab=1, 则 a,b互为倒数；(4) 若ab0, 则 a,b的符号相同；(5) 若a2+b2=0, 则 a,b都等于零。评注 用数学语言代数式和数学符号来表达日常生活语言，是学好数学一项重要的基本功。要培养数学语言和日常生活语言“互译”的能力。例2 浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（ ）（A）（B）（C）（D）解 浓度为p%的盐水m公斤中含盐mp%公斤，浓度为q%的盐水n公斤中含盐nq%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含盐(mp%+nq%)公斤，所以浓度是。 故选D。例3如图是一个长为a，宽为b的矩形两个阴影图形分别是一对长为c的底边在矩形对边上的一个平行四边形和一个矩形则矩形中未涂阴影部分的面积为（ ）（A）ab-(a+b)c（B）ab-(a-b)c（C）(a-c)(b-c)（D）(a-c)(b+c)解：将图形沿左右、上下平移后，可以得到一个长为(a-c)，宽为 (b-c)的长方形，其面积为(a-c) (b-c)，这也就是未涂阴影部分的面积。故选 （C）。例4.a表示一个两位数，b表示一个四位数，把a放在b的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成（ ）(A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b解依题意，在这个六位数中，a的个位数字是在万位上，所以这个六位数应表示成10000a+b，选(B)评注：一个n位自然数的十进制表示法一般形式，是其中ai是一位数字. 有时也根据需要写成 100a+b （b是两位数）,1000a+b(b是三位数)等形式例5 民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(ba)时，所交费用为Q=10b-200(元) (1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？ (2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3)若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m表示Q解 (1)当携带的物品重量b= 35千克时，应交的费用为（元）所以小明应交159元(2)设小王携带了x千克物品，则 解得因此，小王携带了30千克物品(3)已知最多可以免费携带a千克物品，则解得所以超重部分的质量为即故所交费用为（元）例6. 设多项式，已知当0时，；当时，则当时，求的值.解 由题意，当0时，=5，所以d=5；当时，=7，即，所以，当时，=例7 如果, 那么的值为 . 解法1 a2+a=1, 于是我们有解法2 a2=1-a,于是有评注：解法一是应用拆项法；解法二是应用降次法, 这两种方法在整式恒等变形中常用. 例8 如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）：先使原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是_。 解 3n+2 由题意知，正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系是：当正半轴上的整数是3的倍数时，对应着圆周上数字0；当正半轴上的整数被3除余1时，对应着圆周上数字1；当正半轴上的整数被3除余2时，对应着圆周上数字2。所以数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是3n+2。第6讲 整式的概念和整式的加减知识方法扫描整式的概念1. 单项式与多项式统称整式2单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数3 多项式几个单项式的和叫做多项式在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数.把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列叫做降（或升）幂排列法整式的加减1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项整式的加减实际就是合并同类项。3. 灵活地去（添）括号 括号前面去掉（或添上）“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉（或添上）“-”号，括号里各项都变号， 若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算，经典例题解析例1 同时都含有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有( )(A)4个 (B) 12个 (C) 15个 (D) 25个解：设满足条件的单项式为的形式，其中m、n、p为自然数，且m+n+p=7指数m，n，p只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3所以满足条件的单项式有总计有15个故选（D）例2在多项式（其中m，n为正整数）中，恰有两项是同类项，则mn= 解 若与是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾。故只有与为同类项，于是m=n-1且n=4m-4,解得：m=5,n=6,于是mn=30例3 已知有如下一组x, y, 和z的单项式： 我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x的次幂，规定x幂次高的单项式排在x幂次低的单项式的前面；再先看y的次幂，规定y幂次高的单项式排在y幂次低的单项式的前面；再先看z的次幂，规定z幂次高的单项式排在z幂次低的单项式的前面。将这组单项式按上述法则排序，那么，应排在第 位。解：将这组单项式按上述法则排序，, , , , , , , , ，. 所以应排在第8位例4小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 品名件数计算器圆规三角板量角器总钱数第一次购件数134578第二次购件数157998则4种数学用品各买一件共需_元. 解 设计算器、圆规、三角板、量角器每件价分别为x,y,z,u元，则有 x+3y+4z+5u=78 (1) x+5y+7z+9u=98 (2)(1)2-(2)得 x+y+z+u=58, 即4种数学用品各买一件共需58元。例5 已知关于x的整系数二次三项式 ax2+bx+c，当x取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别是1，5，25，50。经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是（ ）（A）x=1时y=1 （B）x=3时y=5 （C）x=6时y=25 （D）x=8时y=50解 若四式成立,则有: (3)-(2), 得: 27a+6b=20, 此式左边是3的倍数,而右边不是3的倍数,所以在(2),(3)两式中必有一式错误;,(4)-(3), 得 8a+2b=25, 此式左边是偶数,而右边不是偶数,所以在(3),(4)两式中也必有一式错误. 所以(3) 式错误.故应选C。例6 (I) x,y 均为整数, 若 5(x+9y),求证: 5(8x+7y).(II) x,y,z 均为整数,若11(7x+2y-5z), 求证: 11(3x-7y+12z).(注：a|b 表示整数b能被整数a整除)证明 （I）因为5(x+9y), 故5(2x+18y)，又显然5(10x+25y)，而8x+7y=(10x+25y)- (2x+18y)，所以 5(8x+7y).（II） 4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 1111(3x-2y+3z)， 且 11(7x+2y-5z) 114(3x-7y+12z)又11和4互质， 11(3x-7y+12z)例7 一个五位数，若前三个数字表示的三位数与后二个数字表示的两位数的和能被11整除，判断这个五位数能否被11整除，并说明理由。解 设这个五位数为N，它的前三个数字为a, 后二个数字为b, 由已知有a+b=11k(k是整数)从而，N=100a+b=99a+a+b=99a+11k=11(9a+k)，所以这个五位数能被11整除例8 设是一个三位数，a3a1，由减去得一个三位数，证明：+=1089解 设：- = 由于a3a1，所以可得：b1 = (10+a1) - a3 b2 = (10+a2 - 1) - a2 = 9 b3 = (a3 -1) - a1 + 得：b1 +b3 = 9+=100(b1 +b3)+10 (b2 +b2)+( b1 +b3)=1009+209+9=1089第七讲 一元一次方程的概念和解法知识方法扫描1、含有未知数的等式叫方程。含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程称为一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a0)的形式，这是一元一次方程的最简形式。2、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式ax=b；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。3、使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫做方程的根。4、 最简方程 ax=b 解的情况：（1）当a0时，方程是一元一次方程，它有唯一解;（2）当a=b=0时，方程的解为任意数；（3）当a=0，b0时，方程无解。5、含有参变量的方程、含绝对值符号的方程在求解时往往需分类讨论， 经典例题解析例1 解方程解: 运用分数的基本性质，可得将原方程化为去分母，得 9x+24-x-30=4x-2移项，合并得： 4x=4, 于是，x=1。例2 已知 ，且，则x-a-b-c= .解：由已知得 即 于是 因， 故x-a-b-c=0例3 已知关于的方程和有相同的解，那么这个解是 。解 由方程 解得由方程 解得由已知得 所以 ，例4 是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x= .解 因为原方程是关于x的一元一次方程，所以3a+2b=0 (否则它是二次方程).原方程为 ax+b=0.又x有唯一解，故a0,于是,原方程为,解得例5. 已知关于x的方程a(3x十2)+b（-2x+3）=5x+ 12有无穷多个解，那么a=_ ，b=_解 整理原方程得(3a-2b-5)x=12-2a-3b.因方程有无穷多个解， 解得 a=3，b=2例6. 定义则方程的解是 解：由定义可知 所以 解这个方程得例7 方程的解是 分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x-1=0,x-5=0，分别得x=1,x=5.1,5将全部实数分成3段：或或然后在每一段上去绝对值符号解方程，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=1，x=5叫做零点.解：若则此时原方程化为若则此时原方程化为即-1=0，矛盾，说明时原方程无解若则此时原方程化为所以和都是原方程的解。例8 满足方程 2 006的所有x的和为( ) 解 即 因为 所以由(2)得 即由(4)得或即原方程有两个解，所有解的和是第8讲 一元一次方程的应用（1）知识方法扫描 应用题是数学竞赛题中的热门题型,它涉及的数学知识较多,综合性强,解法灵活,是开发学生智力,增强应用数学意识,培养学生分析解决问题的能力、逻辑思维能力和创造能力的好素材。解决数学应用题的关键是从实际的数学问题中抽象出数学模型，把反映实世界的实际问题转化为数学问题目来解决，不要局限于几种题型。1、直接设未知数。 应用题往往题目较长，要读懂题意，找出已知和末知，紧抓题目中的等量关系，直接设末知数，通过等量关系列出方程或方程组，从而解决问题。2、设间接未知数。 有些应用题，直接设末知数不易求解，则可以采取间接设末知数的方法。即所设的不是所求的，但与所求的末知量有一定的联系，求出些量后，便能顺利地求出题目中的末知量，这样可以使解题更加方便。3、设辅助未知数。 应用题目涉及的类型很多，有些比较复杂的问题，设直接或间接未知数都很难解决，而此时设辅助未知数，依题意就能列出方程或方程组，从而解决问题目。辅助末知数起着桥梁的作用，设了这个辅助未知数，但并不一定求它，往往是直接相约或相消，有时要经过变形才能消法，即“设而不求”。4、图形、表格分析法。有些复杂的应用题，已知量、末知量较多，而且它们之间的关系又较为复杂，通过构造图形、表格能直观地反映已知、末知及它们之间的相互关系，从而很轻松地解决问题。5、整体思想。若把几个未知量看作一个整体，从整体的角度来考虑问题，可以减少未知量的个数，能达到化繁为简和目的。经典例题解析例1.一个工程队承包甲、乙两项工程，甲工程工作量是乙工程工作量的两倍。前半个月全体工人都在甲工地工作，后半个月工人分成相等的两组，一组仍在甲工地工作，另一组到乙工地工作。一个月后，甲工程完成，而乙工程的剩余量刚好够一个工人一个月的工作量。如果每个工人的工作效率都相同，问这个工程队有多少工人？解. 设这个工程队有x个人，每个人每月的工作量为1，则甲工地工作量为，而乙工地工作量为。依题意，得 ， 解得 x=8。答：这个工程队有8个工人。例2某人走进一家商店，进门付1角钱，然后在店里购物花掉当时他手中钱的一半，走出商店又付1角钱，之后，他走进第二家商店付1角钱，在店里花掉当时手中钱的一半，走出商店付1角钱，他又走进第三家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱的一半，出店付1角钱，最后，他走进第四家商店付1角钱，在店里花掉当时他手中钱韵一半，出店付1角钱，这时他一分钱也没有了，该人原有钱的数目是 角解.设该人原有钱x角，他在进第二家商店前花掉了角，剩下角；他在进第三家商店前花掉了角，剩下角；进第四家商店前剩下角，因在第四家商店后一分钱也不剩了，故解得（角）评注：本题可以逆推出结果，因在第四家商店购物花掉当时的一半钱后，只剩一角钱，故在进第四家商店前只剩1+21=3角钱，依此逆推得结果，例3. 一罐咖啡甲乙两人一起喝10天喝完，甲单独喝则需12天喝完；一斤茶叶两人一起喝12天喝完，乙单独喝则需20天喝完。假设甲在有茶叶的情况下决不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下决不喝茶。问两人一起喝完一斤茶叶和一罐咖啡需要多少天？ ，解. 设乙单独喝咖啡要x天喝完，甲单独喝茶要y天喝完,则有，。解得x=60,y=30.故30天后，甲喝完茶叶而乙只喝掉半罐咖啡，剩下半罐咖啡两人同喝要5天喝完，故共需35天。例4. 中学生运动会五羊赛区男女运动员比例为19：12。组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20：13；后来又决定增加男子象棋项目，于是这个比例再变为30：19。已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么最后运动员总人数为（ ）（A）7000 （B）6860 （C） 6615 （D）6370解 男女运动员比例从 19：12=380：240变为20：13=380：247；再变为30：19=390：247，于是可设男运动员原有380x人，女运动员原有240x人；那么最后男女运动员人数变为390x人和247x人,依题意得（390x-380x）- ( 247x-240x) = 30解得 x=10,所以最后运动员总人数为（390+247）10=6370故选D。例5 在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新盐水，它的浓度为20%，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐水浓度变为%那么原来盐水浓度为( ) (A)23% (B)25% (C)30% (D)32%解设原盐水重量为a，浓度为x，则原盐水含盐量为ax，并设“一杯水”的重量为b，原盐水