可测函数空间的完备性.docVIP

可测函数空间的完备性学生姓名：张权 指导老师：宋儒瑛（太原师范学院数学系14011班 山西太原 030012）【内容提要】 是定义在上的 Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间,若,引入距离 ,则为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列 依测度收敛于某一可测函数，则这样的空间就是完备的。【关键词】 可测函数 度量空间 完备性在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的 Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间的完备性做进一步的探讨。 一、可测函数空间与度量空间设为上实值的可测函数全体，为Lebesgue测度，若。对任意两个可测函数及，由于。故这是X上的可积函数。令 如果把中两个几乎处处相等的函数视为中同一元；那么按上述距离成为度量空间。下面验证一下：在中任取及。0显然。若，当且仅当，也是显然的。 因为，所以。 注意函数（求导大于0）是单调上升的，那么，任取有 从而上的实值Lebesgue可测函数有由前面知，上式两边均可积分。则 即，。所以，按构成度量空间。二、可测函数空间的完备性 定义：Cauchy点列或基本点列：在度量空间中，是中的点列，如果对于任意正数，在自然数，使得当时，必有。则称是中的Cauchy点列或基本点列。如果度量空间中每个柯西点列都收敛，那么称是完备的度量空间。 的完备性：设及分别是中的点列和点，则点列收敛于的充要条件是函数列依测度收敛于。证明：充分性：若依测度收敛于，则对任何的，有。对任意给定的正数(不妨设).取，则，对于这个，由依测度收敛于，存在自然数,使时，。所以， 即必要性：若对任何的，由于 故，且，由此可知。即依测度收敛于。【结论】可见，可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列 依测度收敛于，则这样的空间就是完备的。 三、一个例子在这个例子中，将用到一个引理：若柯西列内有收敛子序列，则它本身是收敛序列。例：可测函数空间是完备的。证明：设是柯西列，任取，有自然数，使得对每一对，都有。据此，对每一自然数可以找到一个自然数, 使它满足条件：由此得，。由Levi定理知级数在 上几乎处处收敛。任取它的一个收敛点，那么对充分大的总有 。因为当时，有。由于是收敛点，故产生矛盾。于是，对充分大的总有。由此得，收敛。从而便知在几乎处处收敛。这相当于序列的几乎处处收敛。由于几乎处处收敛蕴含依测度收敛，那么是一依的距离收敛的序列。而它是的子列，故是依测度收敛的。从而证明了的完备性。【参考资料】1 孙永生等 泛函分析讲义 北京师范大学出版社 北京 1986,52 侯友良等 实变函数基础 武汉大学出版社 武汉 2002,33 程其襄等 实变函数与泛函分析基础 高等教育出版社 北京 2002,14 许天周等 应用泛函分析基础 科学出版社 北京 2003,6The Completion of Measurable Function SpaceName of the student ,Zhang quan Sponsor,Song ruying(Mathematics department of Taiyuan teachers college,class14011 ShanxiTaiyuan 030012)【Abstract】 is a measurable function space which defined on the and is made up of the whole measurable function of Lebesgue . If exists andwe bring into . We can info is a metric space .In this thesis ,we can get an important conclusion “in the measurable function space ,only if each Cauchy function sequence , converges at measurable with measurement, the space is complete .”【Key words】 measurable function , metric