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s o u t h w e s t j I a o t o n g u n I v e r s I t y 西南交通大学 Southwest Jiaotong University 山岭隧道课程 第 五 章 支护结构设计 郑余朝 制作 龚伦龚伦 讲师讲师 山岭隧道 2 荷载结构模式计算方法 地层结构模式计算方法 复合式衬砌结构设计 单层衬砌结构设计 TBM管片衬砌结构设计 衬砌结构耐久性设计概要 主要内容 山岭隧道 3 第一节 荷载结构模式计算方法 数值方法 山岭隧道 4 地下结构地层中的封闭式结构，超静定问题。 考虑结构与围岩的相互作用，由结构的变位才能确 定弹性反力的范围和大小。 结构的变位又是在主动荷载和弹性反力共同作用下 发生的，求解是一个非线性问题。 计算方法：主动荷载模型，假定弹性反力模型 ，计算弹性反力模型。 山岭隧道 5 地下结构杆系结构有限元基本原理为： n将结构与围岩共同组成的结构体系-离散-节点和单 元（梁单元、杆单元和弹性支承单元等）； n以每一个节点的 （分别为x方向、y方向的位移及 xOy平面内的转角）3个位移为未知数； n2个连续条件： 连接在同一节点的各单元的节点位移应该相等 变形协调条件； 节点上作用的各单元的节点力相平衡静力平 衡条件。 山岭隧道 6 有限元分析过程如下： 初期支护单元模型 首先要进行单元分析，找出单元节点力与单元节 点位移的关系单元刚度矩阵，然后进行整体分析 ，建立起以节点静力平衡为条件的总体结构刚度方程 式，在总体结构刚度方程式中引入边界条件， 求得结构节点位移后，再由各单元的 节点荷载与位移的关系计算各单元 的节点抗力、单元内力。 山岭隧道 7 结构力学计算模型的建立 单元刚度矩阵分析 等效节点荷载 整体分析 计算模型建立工程实例 单元内力分析 主要内容 山岭隧道 8 一、结构力学计算模型建立 山岭隧道 9 结构体系的理想化 外荷载理想化 边界条件 主要内容 山岭隧道 10 地下结构有限个单元的组合体； 单元之间通过节点连接，作用在结构上的外荷载 和内力只能通过节点力进行传递； 以节点位移（或节点力）来代表整个结构的变形 状态（或受力状态）。 对于地下结构体系来说，结构的理想化包括 支护结构的理想化和围岩的理想化两部分内容。 1、结构体系的理想化 山岭隧道 11 杆系结构常常可离散成杆、梁、柱等单元 1）支护结构理想化 单元的联节点视为节点； 地下支护结构：弯矩和轴力是主要因素，离散化为同 时承受弯矩和轴力的直杆所组成的折线形组合体； 隧道支护结构单元的力学性质荷载和位移的关系， 由弹性地基梁理论确定，即它是小变形的，符合虎克 定律。 山岭隧道 12 杆系结构常常可离散成杆、梁、柱等单元 1）支护结构理想化 山岭隧道 13 拱、墙的单元各取相等的长度。假定每个单 元都是等厚度的，其计算厚度有三种取法： 取单元两端厚度的平均值； 取单元中点的厚度； 取单元的平均厚度。 1）支护结构理想化 山岭隧道 14 整体式隧道衬砌结构本身的理想化模型见下图。 拱形结构边墙底端是弹性固定的，能产生转 动和垂直下沉。 整体式拱形结构的理想化 1）支护结构理想化 山岭隧道 15 复合式隧道衬砌结构 复合式隧道衬砌， l喷层较薄（如5cm以下）时，可离散化为杆单元， l喷层较厚（如5cm以上）时，可离散化为梁单元； 喷层和二次衬砌之间用杆单元连接，如下图。 1）支护结构理想化 山岭隧道 16 将连续围岩离散为独立岩柱，纵向计算宽度，取单 位长度,b=1；另一边长取两个相邻的衬砌单元的长 度和之半,h。 用弹性支承代替岩柱，并以铰接的方式作用在衬砌 单元的节点上，只承受轴力。 弹簧服从局部变形假定（即温克尔假定）,即： 2）围岩的理想化 K围岩的弹性抗力系数，隧规 山岭隧道 17 2）围岩的理想化 拱形结构围岩的理想化 山岭隧道 18 围岩-限制衬砌轴线的法向位移和切向位移。 法向设置，代替围岩的法向约束，切向设置，代 替围岩的切向约束。 2）围岩的理想化 弹性支承的设置方向 山岭隧道 19 衬砌与围岩的粘结就比较好，传递法向压力、法向 拉力，具有抗剪强度，遵循摩尔库仑条件，即： =tg+ c 、衬砌与围岩接触面的切向和法向应力； 衬砌与围岩间的的摩擦角； c衬砌与围岩的粘结力。 2）围岩的理想化 复合式衬砌，喷层和二次衬砌之间设有防水层，只 传递法向力，可用法向杆单元来模拟。 山岭隧道 20 隧道结构的外荷载，除了自重外，主要是围岩的压 力。 外荷载和内力都通过节点进行传递。 隧道结构理想化：将作用在单元中间的荷载，置换 成作用在单元节点上的荷载，称为节点荷载。 2、外荷载理想化 应按静力等效原则进行置换，即虚功原理。 实际常按简支分配的原则进行置换 山岭隧道 21 2、外荷载理想化 外荷载理想化 山岭隧道 22 例如： 第1节点的节点荷载P1为: 第2节点的节点荷载P2为： 2、外荷载理想化 山岭隧道 23 边界条件就是通常所说的结构支承方式。 拱形支护结构： 无仰供墙脚水平刚性约束，竖向和转动弹性约束； 有仰供基底较硬时可以法向采用刚性约束，较软时， 竖向和切向弹性约束； 统一解决方案：封闭结构采用全周的弹性约束（法向或 切向），不封闭结构还需考虑脚趾处的弹性转动约束。 3、边界条件 山岭隧道 24 二、单元刚度矩阵分析 山岭隧道 25 梁单元刚度矩阵（重点） 杆单元刚度矩阵 弹簧支承单元的刚度矩阵 基底弹性支承单元的刚度 主要内容 山岭隧道 26 用杆系结构有限元分析地下结构时: 梁单元之间用节点连接 地下结构与围岩的作用弹簧单元表示: 单元定义 i j k 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 1、梁单元刚度矩阵 山岭隧道 27 离散的梁单元可用它的两端点来命名。 （1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 对每一根梁单元ij均可取一个坐标x oy， 称为ij梁单元的局部坐标系。 1、梁单元刚度矩阵 梁单元的局部坐标系 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 28 1、梁单元刚度矩阵 梁单元在荷载作用下将产生变形，两节点也 将产生位移,以列阵表示： 则 称为梁单元局部坐标系中的节点位移列阵。 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 29 1、梁单元刚度矩阵 对于i节点： 对于j节点： ui i x y i j vi vj uj j 节点位移 Xi Mi x y i j Yi Yj Xj Mj 内力分量 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 30 1、梁单元刚度矩阵 梁端内力,在局部坐标系中分别用X、Y、 M表示，组成一个列阵。 对于i节点： 对于j节点： 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 31 利用叠加原理，可以得到局部坐标系下，在 局部坐标系的分量的表达式为： 式中：E-弹性模量；l-单元的长度，I-单元的截 面惯性矩，A-单元的横截面积。 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 1、梁单元刚度矩阵 山岭隧道 32 这三个式子可以用矩阵表示： （2.2.7 ） 1、梁单元刚度矩阵 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 33 同理可得j端内力矩阵表达式： （2.2.8 ） 1、梁单元刚度矩阵 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 34 将（2.2.7）和（2.2.8）式合并，则： （2.2.9） 1、梁单元刚度矩阵 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 35 简写为： 其中： 1、梁单元刚度矩阵 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 36 1、梁单元刚度矩阵 矩阵称为梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。 梁单元刚度矩阵 具有如下性质： 梁单元刚度矩阵只与梁单元的物理性质（如E）和几 何尺寸（如A、I、l）有关； 是一个对称矩阵； 对应的行列式 =0, 奇异矩阵。 1）局部坐标系下的梁单元刚度矩阵 山岭隧道 37 1、梁单元刚度矩阵 2）坐标变换 在对整个支护结构进行讨论时，必须要对整 个结构再建立一个统一的，通用的坐标系xoy，这 样建立的坐标系称为整体坐标系，如图2.2.5所示 。 山岭隧道 38 1、梁单元刚度矩阵 图2.2.5 节点内力坐标系下转换 Xj Xi Mi=Mi x y i j Yi Yj y x Mj=Mj Xj Xi Yi Yj 2）坐标变换 山岭隧道 39 1、梁单元刚度矩阵 对于梁单元在局部坐标系中存在的这些量各 关系，在整体坐标系中，也将有相应的量和关系 存在。 坐标变换，内容包括： i）导出梁单元梁端内力在局部坐标系中的分量和 在整体坐标系中的分量之间的关系； 2）坐标变换 山岭隧道 40 1、梁单元刚度矩阵 ii) 导出梁单元节点位移在局部坐标系中的分量 和在整体坐标系中的分量之间的关系； iii) 给出在整体坐标系中梁端内力列阵 和节点 位移列阵 之间的关系式。 坐标变换是由局部坐标系中对梁单元的分析过渡 到由整体坐标系中对梁单元的分析中不可缺少的 一个中心环节。 2）坐标变换 山岭隧道 41 图2.2.6 杆单元的坐标转换 1、梁单元刚度矩阵 梁端内力的坐标变换 如图2.2.6所示,设局坐标系 和整体坐标系 之间的夹角为。 2）坐标变换 山岭隧道 42 1、梁单元刚度矩阵 则在局部坐标系下的梁端内力分量为： 2）坐标变换 山岭隧道 43 1、梁单元刚度矩阵 则在整体坐标系下的梁端内力分量为： 2）坐标变换 山岭隧道 44 1、梁单元刚度矩阵 以i端为例，导出梁端内力在局部坐标系下的 分量和在整体坐标系下的分量关系，写成矩阵形 式： （2.2.13） 2）坐标变换 山岭隧道 45 1、梁单元刚度矩阵 研究j端情况，同理可得： （2.2.14） 2）坐标变换 山岭隧道 46 1、梁单元刚度矩阵 合并（2.2.13）和（2.2.14），得： （2.2.15） 2）坐标变换 山岭隧道 47 1、梁单元刚度矩阵 简写为： （2.2.16） 2）坐标变换 山岭隧道 48 1、梁单元刚度矩阵 R称为转换矩阵。 2）坐标变换 山岭隧道 49 1、梁单元刚度矩阵 梁端位移的坐标变换 完成由局部坐标系下的分量向整体坐标系下 的分量转换，可建立如下类似关系。 节点位移坐标系下转换 uj ui i=i x y i j vi vj y x j=j uj ui vi vj 2）坐标变换 山岭隧道 50 1、梁单元刚度矩阵 （2.2.18） 2）坐标变换 山岭隧道 51 1、梁单元刚度矩阵 简写为： （2.2.19） 2）坐标变换 山岭隧道 52 1、梁单元刚度矩阵 整体坐标系下的单元刚度矩阵 在式（2.2.19）及式（2.2.16）两边左乘以 一个R-1，考虑R为正交矩阵， R-1=RT， 可以推导出： =RT （2.2.20） f=RTf （2.2.21） 2）坐标变换 山岭隧道 53 1、梁单元刚度矩阵 内力分量和梁端的位移分量之间的k称为在 整体整体系中的梁单元刚度矩阵。 通过变换，得出表示在整体坐标系中梁单元 的关系式为： 2）坐标变换 山岭隧道 54 1、梁单元刚度矩阵 (2.2.27) 展开得： (2.2.28) (2.2.29) 2）坐标变换 山岭隧道 55 1、梁单元刚度矩阵 按（2.2.29）式，可由梁单元在整体坐标系 中的梁端节点位移分量计算梁端内力分量。 整体坐标系中的梁单元刚度矩阵k和局部坐 标系中的梁单元刚度矩阵k，一样具有对称性和 奇异性。 2）坐标变换 山岭隧道 56 杆单元可用它的两端节点来命名（图2.2.7）， 如杆单元一端节点号为i，另一端节点号为j，则该杆 单元为ij杆单元。它的刚度矩阵的推求方法同梁单元 。 2、杆单元刚度矩阵 图2.2.7 单元定义 山岭隧道 57 1）局部坐标系下的杆单元刚度矩阵 同理，按梁单元的推导方式可得局部坐标系 下的杆单元刚度矩阵： 2、杆单元刚度矩阵 山岭隧道 58 （2.2.32） 式中， 分别为杆单元在局部坐标 系中的内力分量； 分别为杆单 元在局部坐标系中的位移分量； k即为杆单元在局部坐标系中的刚度矩。 2、杆单元刚度矩阵 山岭隧道 59 2）整体坐标系下的杆单元刚度矩阵 杆单元整体坐标系见图2.2.8所示。 2、杆单元刚度矩阵 图2.2.8 杆单元的坐标转换 山岭隧道 60 转换矩阵如下； （2.2.35） 2、杆单元刚度矩阵 山岭隧道 61 杆单元在整体坐标系中的刚度矩阵如下： （2.2.41） 2、杆单元刚度矩阵 山岭隧道 62 当隧道支护结构向围岩方向变形时，围岩作用 支护结构以弹性反力，则计算图示可按图2.2.9所示 ，即弹簧支承单元按径向布置。 3、弹簧支承单元的刚度矩阵 图2.2.9 隧道支护结构计算图示（不计摩擦力） 山岭隧道 63 1）局部坐标系下的弹簧单元刚度矩阵 如图2.2.10所示，弹簧支承单元i一端固定，另 一端与梁单元节点i相连，则可称为该弹簧支承单元 为i号弹簧支承单元。 3、弹簧支承单元的刚度矩阵 图2.2.10 弹簧单元 山岭隧道 64 设i号弹簧支承单元作用范围的大小为沿隧道 周边长度li、沿隧道纵向长度为b的矩形区域，则 ： Ai=lib （2.2.42） 3、弹簧支承单元的刚度矩阵 图2.2.11 每根弹簧作用范围 山岭隧道 65 弹簧支承单元在局部坐标系下的单元刚度矩 阵如下： （2.2.47） 3、弹簧支承单元的刚度矩阵 山岭隧道 66 2）整体坐标系下的弹簧单元刚度矩阵 整体坐标系下，如图2.2.11所示。 3、弹簧支承单元的刚度矩阵 图2.2.11 弹簧支承单元的坐标转换 山岭隧道 67 弹簧支承单元在整体坐标系下的单元刚度矩 阵如下： （2.2.55） 3、弹簧支承单元的刚度矩阵 山岭隧道 68 为了模拟墙底和地基的这种作用，定义一种 基底弹性支座单元（图2.2.12）：假定隧道支护 结构的墙底放在一个无厚度的板上，板放在弹性 地基上，弹性地基对板的作用可用垂直弹簧和水 平弹簧来模拟。下面推导这种基底弹性支座单元 的刚度矩阵。 4、基底弹性支承单元的刚度 山岭隧道 69 4、基底弹性支承单元的刚度 图2.2.12 基底弹性支座单元 1）局部坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵 建立局部坐标系见图2.2.12所示。 山岭隧道 70 基底弹性支座单元与地基的接触面积为Ai， Ai可由隧道支护结构墙底的厚度di和隧道纵向计算 长度b确定，即： Ai=bdi （2.2.56） 4、基底弹性支承单元的刚度 山岭隧道 71 假定地基的垂直弹性抗力系数为kd，横向综 合抗力系数为k。局部坐标系中基底弹性支座单 元的刚度矩阵如下： （ 2.2.61） 4、基底弹性支承单元的刚度 山岭隧道 72 2）整体坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵 整体坐标系见图2.2.13所示。 4、基底弹性支承单元的刚度 图2.2.13 基底弹性支座单元的坐标转换 山岭隧道 73 整体坐标系中基底弹性支座单元的刚度矩阵如下 ： （2.2.64） 4、基底弹性支承单元的刚度 山岭隧道 74 三、等效节点荷载 山岭隧道 75 匀布荷载转化为等效节点荷载 梯形分布荷载转化为等效节点荷载 集中力作用转化为等效节点荷载 力偶作用下的等效节点荷载 复杂荷载转化为等效节点荷载 自重荷载作用下的等效节点荷载计算 地下结构等效节点荷载列阵的形成 本章主要内容 山岭隧道 76 单元和单元之间通过节点相连，作用在隧道 结构上的任何荷载，都必须转换为节点荷载。 等效节点荷载 用等效节点荷载来代替非节点荷载，其处理原 则为在等效节点荷载作用下结构的节点位移与实际 非节点荷载作用下结构的节点位移应相等。 山岭隧道 77 地下结构所受的荷载都可分解成如下六 类基本荷载（如图2.3.1）。 山岭隧道 78 单元ij受如图所示的匀布荷载q，单元长度为l， 为两坐标系之间的夹角（图示逆时针转角为正）。 2.3.1. 匀布荷载转化为等效节点荷载 山岭隧道 79 假想将单元ij的两端节点位移完全约束住如图 2.3.3所示。这样，单元ij成为两端固定的杆件，匀 布荷载q在两端节点上产生的在局部坐标系中的固端 力为 ,即 山岭隧道 80 解除约束，即将上述固端力变号并由式进行坐 标转换，得到结构坐标系中的单元ij的等效节点荷 载阵列。 在局部坐标系中的单元等效节点荷载为 ， 即 山岭隧道 81 对于单元ij，有 山岭隧道 82 则结构坐标系中的单元等效节点荷载阵列为 山岭隧道 83 单元ij受如图2.3.4所示的梯形分布荷载： 2.3.2. 梯形分布荷载转化为等效节点荷载 图图2.3.4 梯形分布荷载转载转 化为为等效节节点荷 载载 山岭隧道 84 梯形分布荷载在两端节点上产生的在局部坐标 系中的固端力为 ，即 在局部坐标系中的单元等效节点荷载为 ，即 山岭隧道 85 得结构坐标系中单元ij的等效节点荷载阵列 ，即 山岭隧道 86 单元ij受如图2.3.5所示： 2.3.3. 集中力作用转化为等效节点荷载 图图2.3.5 集中力转转化为为等效节节点荷载载 山岭隧道 87 集中力作用在两端节点上产生的在局部坐标系中 的固端力为 ： 在局部坐标系中的单元等效节点荷载为 ，即 山岭隧道 88 得结构坐标系中单元ij的等效节点荷载阵列 ，即 山岭隧道 89 单元ij受如图2.3.6所示的力偶作用： 2.3.4. 力偶作用下的等效节点荷载 图2.3.6 力偶作用下的等效节点荷载 P 山岭隧道 90 力偶作用在两端节点上产生的在局部坐标系中的 固端力为 在局部坐标系中的单元等效节点荷载为 ，即 山岭隧道 91 得结构坐标系中单元ij的等效节点荷载阵列 ，即 山岭隧道 92 得结构坐标系中单元ij的等效节点荷载阵列 ，即 山岭隧道 93 2.3.5. 复杂荷载转化为等效节点荷载 图2.3.7 复杂荷载作用下的等效节点荷载 所受的荷载，分解成平行于x轴和y轴的 荷载作用，假定单元ij受力如图2.3.7所示 。 山岭隧道 94 则在整体坐标系下， i节点的等效节点荷载为： j节点的等效节点荷载为： 山岭隧道 95 单元ij受如图2.3.8所示的自重作用，单元和整体 坐标系的夹角为（逆时针转角为正）。 2.3.6. 自重荷载作用下的等效节点荷载计算 山岭隧道 96 则在整体坐标系下，i节点的等效节点荷载列阵为 ： j节点的等效节点荷载列阵为： 山岭隧道 97 2.3.7. 地下结构等效节点荷载列阵的形成 先求出各单元的等效节点荷载列阵，然后将各 单元的等效节点荷载列阵叠加起来，就得到隧道支 护结构的等效节点荷载列阵。 （1）、各单元的等效节点荷载列阵的计算 荷载作用在隧道支护结构上，见图2.3.9所示。 山岭隧道 98 山岭隧道 99 山岭隧道 100 （2）、隧道支护结构等效节点荷载列阵的计算 将每个单元的等效节点荷载列阵F求出后，再 进行叠加，即可得到支护结构等效节点荷载列阵， 即： 式中，F为隧道支护结构等效节点荷载列阵 ，Fe为第e单元的等效节点荷载列阵，n为单元总 数。 山岭隧道 101 有一个等截面直梁，分成3个单元，受荷 载情况如图2.3.10所示，三个单元的长度相 等，都为l节点编号见图。 山岭隧道 102 对于单元，节点1等效节点荷载： 节点2等效节点荷载： 对于单元，节点2等效节点荷载（同理可得其 他节点的受力 ）： 山岭隧道 103 将节点1的等效节点力、节点2的等效节点力、节 点3的等效节点力、节点4的等效节点力组成矩阵 ，即得结构的等效荷载列阵： 可以看出，在求结构的等效荷载列阵时，只要把 具有相同下标的等效节点力列阵相加到一起即可。 山岭隧道 104 可以总结出一般规律，即对于两端编号为ij 的单元e来说，它的节点等效荷载列阵为：Pie 、Pje，则它们在支护结构的等效荷载列阵中的 相应位置为i行、j行，即： 对每个单元都是这样对 号入座，当同一位置上有几 个列阵时应予相加，这样即 可得到隧道支护结构的等效 荷载列阵。 山岭隧道 105 四、整体分析 山岭隧道 106 节点平衡方程组 节点平衡方程建立示例 总刚度矩阵的特点 边界条件的引入 主要内容 山岭隧道 107 整体分析 1、节点平衡方程组 山岭隧道 108 如图2.4.2中，单元m、n都与节点j相连，都对 节点j有力的作用，除此之外，还有弹簧单元、外 荷载等作用。 图2.4.2 节点j的作用力 jj fj fjim fjkn Fj 山岭隧道 109 1）m单元对节点j的作用力： 2）n单元对节点j的作用力： 山岭隧道 110 3）j弹簧作用（或基底作用）： （1）j弹簧作用 ： （2）基底作用： 4）外荷载： 山岭隧道 111 5）j节点平衡方程的建立 ： j 节点要保持平衡，则以下方程必须满足： 即在节点j处： 从而得出平衡方程： 山岭隧道 112 2、节点平衡方程建立示例 图2.4.3 梁单元 F1 F2F3F4 2134 如图2.4.3，各节点的的平衡方程为： 山岭隧道 113 合并简写为：K=F 其中：K为整个结构的刚度矩阵，是由三个梁单 元及四个弹簧单元（或基底单元）组合而成的： F即为结构的等效荷载列阵 山岭隧道 114 由式（2.4.16）可以看出，迭加时把具有相同下标的刚 度矩阵元素（或子矩阵）相加在一起为： 单元一： 单元二： 单元三： 山岭隧道 115 一号弹簧单元： 二号弹簧单元： 三号弹簧单元： 四号弹簧单元： 山岭隧道 116 3、总刚度矩阵的特点 直接刚度法可分为两个步骤： （1） 把每个单元的单元刚度矩阵的阶数扩大成总 刚度矩阵的阶数。 （2） 总刚度矩阵中同一位置有几个子阵时应予相 加，从而得出总刚度矩阵K。 山岭隧道 117 4、边界条件的引入 总刚度矩阵组成后，由于没有考虑支承条件， 结构存在刚体位移，因而原始刚度矩阵具有奇异性 ，故式： 不能求出节点的位移。需要在方程组中统一引 入支承条件。如荷载结构模式中，常常遇到的 边界条件如图2.4.4所示。 图2.4.4 边界条件 u=0 v=0 u=0 u=0 v=0 =0 v=0 =0 v=0 山岭隧道 118 处理边界条件的两种常用方法：划0置1法和乘大 数法。 1）划0置1法： 如果支承条件为节点i的x方向位移ui=0，作如下修正： 在总刚矩阵K的第3i2行中，主对角线元素改为1 ，其他元素改为0。 把荷载向量F中的第3i2号元素改为0。 山岭隧道 119 这样修改后，第3i2号方程变形为： 2）乘大数法： 如果支承条件为节点i的x方向位移ui=0作如 下的修改： 山岭隧道 120 总刚中主对角线元素k3i2，3i-2乘以一个大 数A，相应的荷载项改为A k3i2，3i-2 ，总刚第 3i2行展开式为 ： 方程两边都除以大数A，由于A是一个很大的数 ，其余各项都趋于0，则： 即 =ui，满足给定的支承条件。 山岭隧道 121 五、计算模型建立工程实例 山岭隧道 122 拱形结构模型建立工程实例 单元内力分析 主要内容 山岭隧道 123 拱形结构模型 一单心圆无仰拱拱形隧道 ，岩体为级围岩，隧道埋深 50m；弹性反力系数取k 400106Pa/m；隧道宽B12m； 侧压力系数取0.5；地下水位深 45m；隧道半径R6m，圆心角 120，衬砌厚度为0.4m；计算 模型如右图。 工程背景