探求一元线性递推数列的通项公式.docVIP

毕 业 论 文学生姓名*学 号*院 (系)*专 业数学与应用数学题 目探求一元线性递推数列的通项公式指导教师2009年月摘要：数列是初等代数中的重要内容之一，而数列的通项公式又是研究、探讨数列问题的重要渠道文章讨论了对一阶线性递推数列、二阶线性递推数列和一般阶线性递推数列的通项公式的求解关键词：数列，通项，线性递推数列，一元，通项公式Abstract: Sequence is an important part in elementary algebra, and formula of the general term of sequence is also an important channel to study and discuss the sequence problem. The article is to explore the solution of the general term formula of one variable linear recursive sequence, second-order linear recursive sequence and the general order linear recursive sequence.Key words: sequence, general term, linear recursive sequence, one variable, general term formula目录1引言42两个简单的数列 43 线性递推数列 53.1递推数列53.2线性递推数列 54一元线性递推数列64.1一阶线性递推数列64.2二阶线性递推数列84.3一般阶线性递推数列10结论 18参考文献 191 引言在自然界以及日常生活中，我们经常会遇到一些按照一定顺序排列成的一列数即数列， 数列是定义在自然数集上的函数，是当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值而数列的通项公式是函数的对应法则，它给出了数列中第项与项数之间的函数关系，在研究数列时占有重要地位如果数列的通项公式清楚了，那么这个数列的其他问题就容易解决掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促进学生对知识进一步掌握；有利于培养学生的创造力、观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣递推数列是数学中一个很重要的工具，是数列教学中的一个难点利用递推公式求数列的通项公式，多年来一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一，在全国及各省市的高考命题中均以较大分值出现而递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，对学生观察、分析、推理能力的要求都较高，而递推数列又分为线性递推数列、非线性递推数列文章将通过对一元线性递推数列的几种常见类型及其通项公式的探讨来提出相应的解题策略，并结合实例加以说明 2 两个简单的数列如果数列（多余两项的有穷数列或无穷数列）满足这样的关系式，（其中为常数），则称数列为等差数列，常数称为它的公差如果数列（多余两项的有穷数列或无穷数列）满足这样的关系式，（其中为常数且），则称数列为等比数列，常数称为它的公比可见，只有当且仅当公差为零时等差数列才为常数列，当且仅当公比为1时等比数列才为常数列因此，只有常数列既是等差数列又是等比数列利用归纳法可以很容易的得出等差数列和等比数列的通项公式分别为，；当时， ，；当时， 如果用与分别表示等差数列和等比数列的前项的和，那么根据这两个数列的规律可以直接计算出；等差数列和等比数列是我们经常遇到的而且也是比较简单的两个数列，在日常生产和生活中经常会用到这两个数列，有时还可以利用它们的性质对其它一些比较复杂的数列进行求解例如，在求解一阶、二阶线性递推数列的通项公式时就会用到这两个数列及其性质3 线性递推数列3.1 递推数列定义1 对任意，由递推关系确定的数列称为递推数列，或称为递归数列例如，设，则确定数列的初始条件和递推关系为，若是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列3.2 线性递推数列定义2 若数列从第项以后任一项都是前项的线性组合，即 ， 其中，, 是常数，则数列称为阶线性递推数列，式称为数列的递推方程与递推方程组相应的代数方程 () 称为阶线性递推数列的特征方程我们经常会遇到一些线性递推数列例如：公比为的等比数列是一阶线性递推数列，其递推方程为，, ；等差数列是二阶线性递推数列，其递推方程为，；斐波那契数列（兔子数列）也是二阶线性递推数列，其递推方程为 ，并且，4 一元线性递推数列4.1 一阶线性递推数列基本形式:已知（为常数），且（且为常数）我们先看这样一个数列（），要求这一数列的通项公式不好直接入手，必须引入一个待定辅助函数，使得，此时原数列便转化为类型，其中而很容易求出数列的通项公式为，为了求出,可以规定，此时我们把所构造的递推数列与原递推数列相比较有求得 ()，从而由 ，得上面所得的即为一般一阶递推数列的通项若其中的或为常数时仍然可以用此方法求解，则原式将转化为以下三种形式： （，为常数且），其通项公式为； （为常数且），其通项公式为；（为常数且），其通项公式为形式即为一阶线性递推数列以上三种数列的通项公式除了运用上面所给的方法外还可以通过其他方法求得特别是在解由数列递推关系式求通项公式的具体数学命题时，方法更灵活，技巧性更强，如：公式法、换元法、递推法、归纳法、数学归纳法、迭代法、待定系数法等等但具体用哪种方法可以根据题目来定，下面举例说明例1 已知数列满足，求通项解 用待定系数法将原递推公式变形为，则数列是以2为首项，3为公比的等比数列，故，所以 若直接利用公式，便有 可见两种方法得到的结果相同例2 已知数列满足，求通项解 （逐差法）由题意得，依此类推便有，将上面各式逐项相加得，所以 若直接利用公式，则有，结果仍然相同例3 已知数列满足，求通项解 （逐商法）由题意得，依此类推便有， ，将上面各式逐项相乘得，所以 同样，如果直接带入公式有，结果仍然相同4.2 二阶线性递推数列4.2.1 二阶线性齐次递推数列基本形式：( 且都为常数)，已知，引入待定系数,使得，此时与原式比较有， 这时数列就是等比数列，而,是方程的两个根，因为二次方程的两根总是存在的（可以是重根或虚数根），所以待定系数和是存在的并可很容易的求出若，则由原递推数列可以得到下面两个递推式和 ，消去得到若，则由原递推数列可以得到下面的递推式因为（否则），所以等式两边可以同时除，得到，故数列是首项为，公差为的等差数列从而有，此时得到数列的通项公式4.2.2 二阶线性非齐次递推数列基本形式：( 且都为常数)，已知，此类数列的通项公式可以用求解方法求得，若将下面，和，两式相减得，这时数列便为二阶线性齐次递推数列可以由上面内容求出其通项公式，最后再运用逐项相加法便可求出原数列的通项例4 已知数列满足，求通项解 原递推公式可以写成，此时数列是首项为，公比为2的等比数列，于是，利用逐项相加法便可求得，所以 例5已知数列满足，求通项解 由题可得出以下两式和 ，将两式相减得到若令，则数列为二阶线性齐次递推数列，利用例4的方法可以求出其通项故有将上面各式相加得到，所以 4.3 一般阶线性递推数列基本形式：，其中， 是常数，且初始值，, 为已知对于一般阶线性递推数列的通项公式的求解，主要可以通过四种方法来求，即特征根法、矩阵法、积分法和母函数法下面将对这四种方法分别进行探讨4.3.1 特征方程法求通项公式定理1若特征方程有个相异的根，则对应的递推方程确定的数列的通项公式为 ，其中，是如下线性方程组的惟一解：例6 已知数列满足，求通项解 特征方程有两个相异根，根据定理1，通项公式为，代入前两项的值，得解得 ，所以 定理2若特征方程有重根，则对应递推方程所确定的数列的通项公式为，其中，是如下线性方程组的惟一解：例7 已知数列满足，求通项解 特征方程有二重根，根据定理2，其中满足方程组解此方程组，得 ，所以 定理3若特征方程有重根，重根，重根（），则对应递推方程所确定的数列的通项公式为，其中，（）是在上面通项公式中令所得线性方程组的惟一解例8 已知数列满足，求通项解 特征方程的根为，根据定理3，其中满足方程组解此方程组，得 ，所以 4.3.2 矩阵法求通项公式由式我们可以得出此递推数列的矩阵表示形式，即若令，则对于递推数列通项公式的求解即转化为对于矩阵的次幂的求解，而利用矩阵理论可以解决此问题若矩阵的特征方程有个不同的特征根，则必存在某一可逆矩阵使得，即，故有，从而有，其中可由特征根确定，最终数列的通项公式可由矩阵得出若矩阵的特征方程有 ()个不同的特征根，设其重数分别为，并且时，则存在可逆矩阵使得(其中为矩阵的若尔当标准形)由此可得，从而，其中是阶若尔当矩阵，最终数列的通项公式可由矩阵得出例9已知在数列中，,试求解 此数列为三阶常系数齐次线性递推数列令，因为的根为，且，互异，则必存在某一可逆矩阵使得，那么，而由高等代数知识容易求得，故，于是 ，即有 例10已知在数列中，试求解 此数列为三阶常系数齐次线性递推数列令，由得到特征根而属于特征值2的特征向量为，属于二重特征值3的特征向量只有一个线性无关的特征向量此时矩阵不可以对角化，所以必存在某一可逆矩阵使得，其中矩阵为矩阵的若尔当标准形且，下面求矩阵令，则由即得其中分别为矩阵属于特征值2和3的特征向量，而由得故可以取，所以， ，于是，故 ，即有 4.3.3 积分法求通项公式利用积分求递推数列的通项公式，主要是针对那些递推关系式转化成函数式后比较容易求导且又容易积分的递推数列这一方法的主要过程是：先将递推关系式用函数式表示，即令将递推关系式转化为关于的函数式；然后对函数式两边关于求导得出导函数，而可能是等差数列（此时可以直接得出），也可能是可以化成与之间的递推关系式；再通过积分求出，根据已知条件，即，的值列出方程组，然后根据方程组即可求出和常数；最后再令，则得到通项.下面通过例题说明例11 已知在数列中，且有，试求通项解 设 ，则有，且 ，对上式两边分别关于求导得令，则或，故数列是以为首项，1为公差的等差数列，且因为，所以有；两边同时积分得，由题意知，故有方程组，解此方程组得，从而有令，得通项 4.3.4 母函数法求通项公式所谓母函数法是将数列与多项式联系起来进行研究的一种有效方法一般的，我们将多项式叫做有穷数列的母函数将形式幂级数叫做无穷数列的母函数用母函数法求数列的通项公式，首先要从数列的意义出发，构造它的母函数；然后将母函数表示成形式幂级数，最终的系数就是通项.例12 已知数列中，求通项解 设数列的母函数是， 作，将上面三式相加，得根据初始条件以及递推方程，并把表示为形式幂级数，有所以 ，结论一元线性递推数列的通项公式的求解问题，本文主要集中在对一阶和二阶线性递推数列以及一般阶线性递推数列上针对一阶线性递推数列本文先给出了一阶递推数列通项公式的求解方法，然后将式中的和换成和即可；更一般的方法是利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列再进行求解对于二阶线性递推数列的通项公式，本文分别对齐次和非齐次递推数列进行了探讨，其中的重点是对齐次线性递推数列通项公式的求解方法可归结为通过变形或引入待定系数将原数列转化为我们所熟知的等差或等比数列，然后利用逐差法或逐商法求出原数列的通项公式文章最后对一般阶线性递推数列通项公式的求解进行了探讨，其方法有特征根法、矩阵法、积分法和母函数法，而特征根法与矩阵法是重点且具有很强的适用性参 考 文 献1余元希,田万海,毛宏德.初等代数研究(下册)M.北京:高等教育出版社,1988:465-480.2陈传理,张同君.竞赛数学教程第二版M.北京:高等教育出版社,2004:102-105.3刘华巧,李德胜.几类递推数列通项公式的推导及应用J.高师理科学刊,2007,27(2):30-32.4 刘国祥,那日苏,葛景元.一个递推数列的通项公式及应用J.昭乌达蒙族师专学报,2003,24(2):90-91.5崔继海.由三类数列的递推关系式求其通项